Ngân hàng câu hỏi HOMC 2013

Viết 2013 thành tổng của \(m\) số nguyên tố. Giá trị nhỏ nhất của \(m\) là:

Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) sao cho \(n^2+2014\) là số chính phương?

Số nguyên lớn nhất không vượt quá \([(n+1)\alpha]-[n\alpha]\), với \(n\) là số tự nhiên và \(\alpha=\frac{\sqrt{2013}}{\sqrt{2014}}\), là: (Dấu ngoặc vuông ký hiệu phần nguyên.)

Cho \(A\) là số nguyên chẵn nhưng không chia hết cho 10. Hai chữ số tận cùng của \(A^{20}\) là:

Số nghiệm nguyên \(x\) của phương trình \((12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=330\) là:

Cho tam giác \(ABC\) có diện tích \(1\text{ cm}^2\). Các điểm \(D,E,F\) lần lượt thuộc \(AB,BC,CA\). Chứng minh \(\min\{[ADF],[BED],[CEF]\}\le\tfrac14\text{ cm}^2\), trong đó ngoặc vuông ký hiệu diện tích.

Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A=90^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(BC=1\text{ cm}\). Dựng ra phía ngoài tam giác \(ABC\) ba tam giác đều \(ABD,ACE,BCF\). Tính diện tích \([DEF]\).

Cho ngũ giác lồi \(ABCDE\) có \([ABC]=[BCD]=[CDE]=[DEA]=[EAB]=2\text{ cm}^2\). Tính diện tích ngũ giác.

Giải hệ với \(x,y\gt 0\): \(x+y\le1\) và \(\frac2{xy}+\frac1{x^2+y^2}=10\).

Trong các hình chữ nhật có chu vi cố định \(p\), tìm giá trị lớn nhất của \(M=\frac{S}{2S+p+2}\), với \(S\) là diện tích.

Các số dương \(a,b,c,d,e\) thỏa mãn \((x+a)(x+b)(x+c)=x^3+3dx^2+3x+e^3\) với mọi số thực \(x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(d\).

Cho \(f(x)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(|f(x)|\lt 1\) với mọi \(x\in[-1,1]\). Chứng minh phương trình \(f(x)=2x^2-1\) có hai nghiệm thực.

Giải hệ \(\frac1x+\frac1y=\frac16\), \(\frac3x+\frac2y=\frac56\).

Giải hệ \(x^3+y=x^2+1\), \(2y^3+z=2y^2+1\), \(3z^3+x=3z^2+1\).

Gọi \(\mathbb Q\), \(\mathbb N^*\) lần lượt là tập số hữu tỉ và số nguyên dương. Giả sử \((ax+b)/x\in\mathbb Q\) với mọi \(x\in\mathbb N^*\). Chứng minh tồn tại các số nguyên \(A,B,C\) sao cho \(\frac{ax+b}{x}=\frac{Ax+B}{Cx}\) với mọi \(x\in\mathbb N^*\).

Có bao nhiêu số chính phương có ba chữ số sao cho khi tăng mỗi chữ số thêm một đơn vị, số nhận được cũng là số chính phương?

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(x)=|x|+\left|\frac{1-2013x}{2013-x}\right|\), với \(x\in[-1,1]\).

Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá \(8x^3+6x-1\), với \(x=\tfrac12\big(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\big)\).

Cho \(x_0=[\alpha]\), \(x_1=[2\alpha]-[\alpha]\), \(x_2=[3\alpha]-[2\alpha]\), \(x_4=[5\alpha]-[4\alpha]\), \(x_5=[6\alpha]-[5\alpha],\ldots\), với \(\alpha=\sqrt{2013}/\sqrt{2014}\). Giá trị của \(x_9\) là: Ở đây \([t]=\lfloor t\rfloor\). Diễn giải biên tập: chỉ số \(x_3\) bị bỏ sót được hiểu theo quy luật \(x_k=\lfloor(k+1)\alpha\rfloor-\lfloor k\alpha\rfloor\).

Hợp số là số \(n=ab\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên lớn hơn 1. Viết 2013 thành tổng của \(m\) hợp số. Giá trị lớn nhất của \(m\) là bao nhiêu?