Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2010 Khối 10

Có bao nhiêu số nguyên $n\in[2000,2010]$ sao cho $2^{2n}+2^n+5$ chia hết cho $7$?

Năm chữ số tận cùng của số $5^{2010}$ là:

Có bao nhiêu số thực $a\in(1,9)$ sao cho $a-\dfrac1a$ là số nguyên?

Mỗi ô trong bảng $2\times2$ có thể tô màu đen hoặc trắng. Có bao nhiêu cách tô màu khác nhau cho bảng?

Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ sao cho phương trình $2x^2-30x+a=0$ có hai nghiệm là số nguyên tố.

Gọi $a,b$ là các nghiệm của phương trình $x^2-px+q=0$ và $c,d$ là các nghiệm của phương trình $x^2-rx+s=0$, trong đó $p,q,r,s$ là các số thực dương. Giả sử
$$M=\frac{2(abc+bcd+cda+dab)}{p^2+q^2+r^2+s^2}$$
là số nguyên. Hãy xác định $a,b,c,d$.

Gọi $P$ là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $CP$ cắt $AC,BC$ lần lượt tại $M,N$. Biết $AP=3\text{ cm}$ và $BP=4\text{ cm}$, tính $\dfrac{AM}{BN}$.

Nếu $n$ và $n^3+2n^2+2n+4$ đều là số chính phương, hãy tìm $n$.

Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $3x^2+x=4y^2+y$. Chứng minh rằng $x-y$ là một “số nguyên hoàn hảo” (nguyên văn tiếng Anh: “perfect integer”).

Tìm giá trị lớn nhất của $$M=\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x},\qquad x,y,z>0.$$