Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2012 Khối 10

Câu hỏi 1

Cho \(x=\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt5}+\sqrt{6-2\sqrt5}}{\sqrt{20}}\). Giá trị của \(H=(1+x^5-x^7)^{2012^{3^{11}}}\) là
  1. 1
  2. 11
  3. 21
  4. 101
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 2

So sánh \(P=2^\alpha,Q=3,T=2^\beta\), trong đó \(\alpha=\sqrt2\), \(\beta=1+\dfrac1{\sqrt2}\).
  1. \(P\lt Q\lt T\)
  2. \(T\lt P\lt Q\)
  3. \(P\lt T\lt Q\)
  4. \(T\lt Q\lt P\)
  5. \(Q\lt P\lt T\)

Câu hỏi 3

Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(BC=3\text{ cm}\), \(DA=6\text{ cm}\), với \(AD\parallel BC\). Đoạn \(EF\), với \(E\in AB,F\in CD,EF\parallel AD\), đi qua \(M=AC\cap BD\). Tính độ dài \(EF\).
  1. \(3.5\text{ cm}\)
  2. \(4\text{ cm}\)
  3. \(4.5\text{ cm}\)
  4. \(5\text{ cm}\)
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 4

Số nguyên lớn nhất không vượt quá \(4x^3-3x\) là bao nhiêu, nếu \(x=\dfrac12\left(\sqrt[3]{2+\sqrt3}+\sqrt[3]{2-\sqrt3}\right)\)?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 5

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(x)+2f\left(\dfrac{x+2010}{x-1}\right)=4020-x\) với mọi \(x\ne1\). Giá trị \(f(2012)\) là
  1. 2010
  2. 2011
  3. 2012
  4. 2014
  5. Không có đáp án nào ở trên.

Câu hỏi 6

Với \(n=2,3,\ldots\), đặt \(A_n=\left(1-\dfrac1{1+2}\right)\left(1-\dfrac1{1+2+3}\right)\cdots\left(1-\dfrac1{1+2+\cdots+n}\right)\). Tìm tất cả các số nguyên \(n\ge2\) sao cho \(1/A_n\) là số nguyên.

Câu hỏi 7

Chứng minh số nguyên thập phân \(a=\underbrace{11\ldots1}_{2012}\underbrace{55\ldots5}_{2011}6\) là số chính phương.

Câu hỏi 8

Tìm số thực \(m\) lớn nhất để hệ \(x^2+y^2=1\), \(|x^3-y^3|+|x-y|=m^3\) có nghiệm thực.

Câu hỏi 9

Gọi \(P\) là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác \(ABC\). Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(CP\) cắt \(AC,BC\) lần lượt tại \(M,N\). Biết \(AP=3\text{ cm}\), \(BP=4\text{ cm}\), tính \(AM/BN\).

Câu hỏi 10

Phương trình \(x^3+px^2+qx+1=0\), với \(p,q\) hữu tỉ, có ba nghiệm thực \(x_1,x_2,x_3\), trong đó \(x_3=2+\sqrt5\). Tính \(p,q\).

Câu hỏi 11

Phương trình \(x^3+px^2+qx+r=0\) có ba nghiệm thực \(x_1,x_2,x_3\), trong đó \(p,q,r\) là các số nguyên. Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n\) với \(n=1,2,\ldots\). Chứng minh \(S_{2012}\) là số nguyên.

Câu hỏi 12

Cho tam giác cân \(ABC\) có đáy \(AB\) và điểm \(M\in BC\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp, \(S\) là tâm đường tròn nội tiếp. Biết \(SM\parallel AC\), chứng minh \(OM\perp BS\).

Câu hỏi 13

Một hình lập phương cạnh \(3\text{ cm}\) được sơn đỏ rồi cắt thành \(3\times3\times3=27\) hình lập phương cạnh \(1\text{ cm}\). Gọi \(a,b,c,d\) lần lượt là số khối nhỏ có không mặt, một mặt, hai mặt và ba mặt được sơn. Tính \(a-b-c+d\).

Câu hỏi 14

Giải phương trình nghiệm nguyên \(16x+1=(x^2-y^2)^2\).

Câu hỏi 15

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M=xy-yz-zx\), với các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(x^2+2y^2+5z^2=22\).