Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2007 Khối 10

Hai chữ số tận cùng của số $(11^2+15^2+19^2+\cdots+2007^2)^2$ là gì?

Số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn $n^{2007}\gt (2007)^n$ là bao nhiêu?

Tìm số bộ ba số nguyên dương khác nhau $(x,y,z)$ thỏa mãn $x+y-z=1$ và $x^2+y^2-z^2=1$.

Sắp xếp các số $\sqrt2$, $\sqrt[3]3$, $\sqrt[4]4$, $\sqrt[5]5$, $\sqrt[6]6$ theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.

Cho các điểm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn, $AB$ là đường kính, $CD$ vuông góc với $AB$ tại $E$. Biết $AB,CD$ là các số nguyên và $AE-EB=\sqrt3$. Tìm $AE$.

Cho $P(x)=x^3+ax^2+bx+1$ và $|P(x)|\le1$ với mọi $x$ thỏa mãn $|x|\le1$. Chứng minh $|a|+|b|\le5$.

Tìm tất cả các dãy số nguyên $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ sao cho $x_i+x_j$ chia hết cho $ij$ với mọi hai số nguyên dương phân biệt $i,j$.

Cho tam giác đều $ABC$. Với điểm $M$ nằm trong tam giác, gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $BC,CA,AB$. Tìm quỹ tích các điểm $M$ sao cho $\angle FDE$ là góc vuông.

Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_{2007}$ thỏa mãn $a_1+a_2+\cdots+a_{2007}\ge2007^2$ và $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2007}^2\le2007^3-1$. Chứng minh $a_k\in[2006;2008]$ với mọi $k\in\{1,2,\ldots,2007\}$.

Giá trị nhỏ nhất của $x^2+2y^2-x-2y-xy$ là bao nhiêu?

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $(2x-1)P(x)=(x-1)P(2x)$ với mọi $x$.

Tính tổng $\frac1{2\cdot7\cdot12}+\frac1{7\cdot12\cdot17}+\cdots+\frac1{1997\cdot2002\cdot2007}$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC\gt CA$. Gọi $O,H,F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm và chân đường cao $CH$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $OF$ cắt cạnh $CA$ tại $P$. Chứng minh $\angle FHP=\angle BAC$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $x^2+y^2+xy=4(x+y)$?

Cho $p=\overline{abcd}$ là số nguyên tố có bốn chữ số. Chứng minh phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0$ không có nghiệm hữu tỉ.