So sánh hai số
$$P=\underbrace{888\ldots888}_{2010}\times\underbrace{333\ldots333}_{2010}$$
và
$$Q=\underbrace{444\ldots444}_{2010}\times\underbrace{666\ldots667}_{2010}.$$
Các nhãn dưới dấu ngoặc cho biết số chữ số của từng thừa số.
Cho tam giác $ABC$, các điểm $D,M,N$ lần lượt thuộc $BC,AB,AC$. Giả sử $MD\parallel AC$ và $ND\parallel AB$. Biết $S_{\triangle BMD}=9\text{ cm}^2$ và $S_{\triangle DNC}=25\text{ cm}^2$, tính $S_{\triangle AMN}$.
Gọi $a,b$ là các nghiệm của phương trình $x^2-px+q=0$ và $c,d$ là các nghiệm của phương trình $x^2-rx+s=0$, trong đó $p,q,r,s$ là các số thực dương. Giả sử
$$M=\frac{2(abc+bcd+cda+dab)}{p^2+q^2+r^2+s^2}$$
là số nguyên. Hãy xác định $a,b,c,d$.
Gọi $P$ là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $CP$ cắt $AC,BC$ lần lượt tại $M,N$. Biết $AP=3\text{ cm}$ và $BP=4\text{ cm}$, tính $\dfrac{AM}{BN}$.