Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2008 Khối 8

Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 2008 có tổng các chữ số chia hết cho 5?

Cho \(a>0\). Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng \((a,2008a)\)?

Tìm hệ số của \(x\) trong khai triển \((1+x)(1-2x)(1+3x)(1-4x)\cdots(1-2008x)\).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((m,n)\) thỏa mãn \(m^2+n^2=3(m+n)\).

Cho các số thực \(x,y,z,t\) thỏa mãn
\[|x+y+z-t|\le1,\quad |y+z+t-x|\le1,\quad |z+t+x-y|\le1,\quad |t+x+y-z|\le1.\]
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2+t^2\le1\).

Cho đa thức \(P(x)\) thỏa mãn \(P(x^2-1)=x^4-3x^2+3\). Tìm \(P(x^2+1)\).

Cho ngũ giác lồi \(ABCDE\). Tính \(\angle DAC+\angle EBD+\angle ACE+\angle BDA+\angle CEB\).

Một hình thoi có cạnh dài \(a\) và diện tích \(S\). Tính độ dài đường chéo ngắn hơn.

Cho tam giác vuông \(ABC\) với \(\angle A=90^\circ\), \(AB=c\), \(AC=b\). Lấy \(E\in AC\), \(F\in AB\) sao cho \(\angle AEF=\angle ABC\), \(\angle AFE=\angle ACB\). Gọi \(P,Q\in BC\) sao cho \(EP\perp BC\), \(FQ\perp BC\). Tính \(EP+EF+PQ\).

Cho \(a,b,c\in[1,3]\) thỏa mãn \(\max\{a,b,c\}\ge2\) và \(a+b+c=5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(a^2+b^2+c^2\).