Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2007 Khối 8

Hai chữ số tận cùng của số $(3+7+11+\cdots+2007)^2$ là gì?

Số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn $n^{2006}\lt 7^{2007}$ là bao nhiêu?

Số nào sau đây có thể là số đường chéo của một đa giác lồi?

Ghi chú biên soạn: Trong bản nhập này, hãy chọn tất cả phương án đúng.

Gọi $m,n$ lần lượt là số chữ số của $2^{2007}$ và $5^{2007}$ trong hệ thập phân. Tính $m+n$.

Cho khoảng mở $(\alpha;eta)$ có $eta-\alpha=\frac1{2007}$. Tìm số lượng lớn nhất các phân số tối giản $\frac ab$ nằm trong khoảng đó, với $1\le b\le2007$.

Trong tam giác $ABC$, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle ACB=90^\circ$ và $D$ nằm trên $BC$. Biết $AD$ là phân giác của $\angle BAC$ và $CD=3\text{ cm}$. Độ dài $DB$ bằng

Có chín điểm nằm trong một tam giác đều cạnh 4, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ba điểm là đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn $\sqrt3$.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương. Chứng minh $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\ge\frac35$.

Một tam giác được gọi là tam giác Heron nếu các cạnh và diện tích đều là số nguyên. Trong một tam giác Heron, các cạnh $a,b,c$ thỏa mãn $b=a(a-c)$. Chứng minh tam giác đó cân.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac1{bc}+\frac1{ca}+\frac1{ab}\ge1$. Chứng minh $\frac a{bc}+\frac b{ca}+\frac c{ab}\ge1$.

Có bao nhiêu giá trị có thể có của tổng $a+b+c+d$ nếu $a,b,c,d$ là các số nguyên dương và $abcd=2007$?

Tính tổng $\frac5{2\cdot7}+\frac5{7\cdot12}+\cdots+\frac5{2002\cdot2007}$.

Cho tam giác $ABC$. Tìm tất cả các điểm $M$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ bằng diện tích tam giác $MAC$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $2x^2+y^2+xy=2(x+y)$?

Cho $p=\overline{abc}$ là số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ.