Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2013 Khối 10

Có bao nhiêu số chính phương có ba chữ số sao cho khi tăng mỗi chữ số thêm một đơn vị, số nhận được cũng là số chính phương?

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(x)=|x|+\left|\frac{1-2013x}{2013-x}\right|\), với \(x\in[-1,1]\).

Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá \(8x^3+6x-1\), với \(x=\tfrac12\big(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}\big)\).

Cho \(x_0=[\alpha]\), \(x_1=[2\alpha]-[\alpha]\), \(x_2=[3\alpha]-[2\alpha]\), \(x_4=[5\alpha]-[4\alpha]\), \(x_5=[6\alpha]-[5\alpha],\ldots\), với \(\alpha=\sqrt{2013}/\sqrt{2014}\). Giá trị của \(x_9\) là: Ở đây \([t]=\lfloor t\rfloor\). Diễn giải biên tập: chỉ số \(x_3\) bị bỏ sót được hiểu theo quy luật \(x_k=\lfloor(k+1)\alpha\rfloor-\lfloor k\alpha\rfloor\).

Hợp số là số \(n=ab\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên lớn hơn 1. Viết 2013 thành tổng của \(m\) hợp số. Giá trị lớn nhất của \(m\) là bao nhiêu?

Cho \(a\in\{0,1,\ldots,1006\}\). Tìm mọi \(n\in\{0,1,\ldots,2013\}\) sao cho \(C_{2013}^n\gt C_{2013}^a\), với \(C_m^k=\frac{m!}{k!(m-k)!}\).

Cho tam giác đều \(ABC\), điểm \(M\) ở trong tam giác thỏa \(MA^2=MB^2+MC^2\). Dựng tam giác đều \(ACD\), với \(D\ne B\). Lấy \(N\) ở trong \(ACD\) sao cho \(AMN\) đều. Tính \(\angle BMC\).

Cho ngũ giác lồi \(ABCDE\) có \([ABC]=[BCD]=[CDE]=[DEA]=[EAB]\). Biết \([ABCDE]=2\), tính \([ABC]\).

Đa thức \(P(t)=t^3+at^2+bt+c\) có ba nghiệm thực phân biệt. Nếu phương trình \((x^2+x+2013)^3+a(x^2+x+2013)^2+b(x^2+x+2013)+c=0\) không có nghiệm thực, chứng minh \(P(2013)\gt 1/64\).

Trong các hình chữ nhật có diện tích cho trước \(S\), tìm giá trị lớn nhất của \(M=\frac{16S-p}{p^2+2p}\), với \(p\) là chu vi.

Các số dương \(a,b,c,d,p,q\) thỏa mãn \((x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x^4+4px^3+6x^2+4qx+1\) với mọi số thực \(x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(p\) hoặc giá trị lớn nhất của \(q\).

Cho \(f(x)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(f(\sqrt2)=3\) và \(|f(x)|\le1\) với mọi \(x\in[-1,1]\). Tính \(f(\sqrt{2013})\).

Giải hệ \(xy=1\), \(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}=1\).

Giải hệ \(x^3+\tfrac13y=x^2+x-\tfrac43\), \(y^3+\tfrac14z=y^2+y-\tfrac54\), \(z^3+\tfrac15x=z^2+z-\tfrac65\).

Gọi \(\mathbb Q\), \(\mathbb N^*\) lần lượt là tập số hữu tỉ và số nguyên dương. Giả sử \(\frac{ax+b}{cx+d}\in\mathbb Q\) với mọi \(x\in\mathbb N^*\). Chứng minh tồn tại các số nguyên \(A,B,C,D\) sao cho \(\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{Ax+B}{Cx+D}\) với mọi \(x\in\mathbb N^*\).