Ngân hàng câu hỏi HOMC 2006

Hai chữ số tận cùng của số $(11+12+13+\cdots+2006)^2$ là gì?

Tìm hai chữ số tận cùng của tổng $2005^{11}+2005^{12}+\cdots+2005^{2006}$.

Tìm số bộ ba số nguyên dương khác nhau $(x,y,z)$ thỏa mãn $x^2+y-z=100$ và $x+y^2-z=124$.

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x+y-xy=155$ và $x^2+y^2=325$. Tìm giá trị của $|x^3-y^3|$.

Cho $n$ là số nguyên dương. Chọn ba số bất kỳ từ tập $\{1,2,3,\ldots,3n+1\}$ sao cho tổng bằng $3n+1$. Tích lớn nhất có thể của ba số đó là bao nhiêu?

Quy ước biên tập cho câu hỏi nhập này: được phép chọn lặp giá trị. Đây là cách hiểu do biên tập lựa chọn, không phải điều kiện đã xác nhận từ nguồn. Lời giải cũng chứng minh đầy đủ trường hợp ba phần tử phân biệt.

Cho lục giác đều $ABCDEF$. Tìm tất cả các điểm $M$ thuộc lục giác sao cho diện tích tam giác $MAC$ bằng diện tích tam giác $MCD$.

Làm rõ cách hiểu: M thuộc miền lục giác kín, kể cả đường biên; cho phép các tam giác có diện tích bằng 0.

Trên đường tròn $(O)$ bán kính $15\text{ cm}$, cho hai điểm $A,B$. Đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ cắt $(O)$ tại $C$. Tính $AC$ nếu $AB=16\text{ cm}$.

Quy ước biên tập: C là giao điểm của đường tròn với tia xuất phát từ O đi qua H. Giao điểm còn lại trên cả đường thẳng chứa đường cao được xét riêng trong lời giải.

Trong tam giác $ABC$, $PQ\parallel BC$, với $P,Q$ lần lượt thuộc $AB,AC$. Hai đường thẳng $PC,QB$ cắt nhau tại $G$. Cho $EF\parallel BC$, với $G\in EF$, $E\in AB$, $F\in AC$, $PQ=a$, $EF=b$. Tính $BC$.

Làm rõ cách hiểu: xét tam giác không suy biến và P,Q nằm trong các cạnh đã nêu để giao điểm G được xác định.

Giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2-x-y-xy$ là bao nhiêu?

Ba chữ số tận cùng của tổng $11!+12!+13!+\cdots+2006!$ là gì?

Tìm ba chữ số tận cùng của tổng $2005^{11}+2005^{12}+\cdots+2005^{2006}$.

Giả sử $a^{\log_b c}+b^{\log_c a}=m$. Tìm giá trị của $c^{\log_b a}+a^{\log_c b}$.

Trong các số $2^{\sqrt2}$, $2^{1+\frac1{\sqrt2}}$ và $3$, số nào lớn hơn?

Cho lục giác đều $ABCDEF$. Tìm tất cả các điểm $M$ thuộc lục giác sao cho diện tích tam giác $MAC$ bằng diện tích tam giác $MCD$.

Làm rõ cách hiểu: M thuộc miền lục giác kín, kể cả đường biên; cho phép các tam giác có diện tích bằng 0.

Trên đường tròn bán kính $30\text{ cm}$, cho hai điểm $A,B$ với $AB=16\text{ cm}$ và $C$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách vuông góc từ $C$ đến đường tròn bằng bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $PQ\parallel BC$, với $P,Q$ lần lượt thuộc $AB,AC$. Hai đường thẳng $PC,QB$ cắt nhau tại $G$. Cho $EF\parallel BC$, với $G\in EF$, $E\in AB$, $F\in AC$, $PQ=a$, $EF=b$. Tính $BC$.

Làm rõ cách hiểu: xét tam giác không suy biến và P,Q nằm trong các cạnh đã nêu để giao điểm G được xác định.

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P(x)+\left(\frac1x\right)=x+\frac1x$, với mọi $x\ne0$.

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $|x^3+y^3+z^3-xyz|$.