Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2009 Khối 10

Cho $a,b,c$ là ba số phân biệt thuộc $\{1,2,3,4,5,6\}$. Chứng minh rằng $abc+(7-a)(7-b)(7-c)$ chia hết cho $7$.

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho số $a=n!$ có đúng $2009$ chữ số $0$ tận cùng.

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ không có ước chung lớn hơn $1$ và thỏa mãn $\frac1a+\frac1b=\frac1c$. Chứng minh rằng $a+b$ là số chính phương.

Giả sử $a=2^b$, trong đó $b=2^{10n+1}$. Chứng minh rằng $a$ chia hết cho $23$ với mọi số nguyên dương $n$.

Chứng minh rằng $m^7-m$ chia hết cho $42$ với mọi số nguyên dương $m$.

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=4$, $c^2+d^2=4$ và $ac+bd=2$. Tìm tập hợp tất cả các giá trị có thể có của $M=ab+cd$.

Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=99$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=abcd$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho tích hai số cộng với một nửa của một số và một phần ba của số còn lại “nhỏ hơn $1004$ ba lần”.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có diện tích $S$. Gọi $A^{\prime}$ là giao điểm của đường thẳng chứa đường cao từ $A$ xuống $BC$ với nửa đường tròn đường kính $BC$ nằm ngoài tam giác. Xác định $B^{\prime},C^{\prime}$ tương tự theo chu kì. Tính $T=[BCA^{\prime}]^2+[CAB^{\prime}]^2+[ABC^{\prime}]^2$, trong đó dấu ngoặc vuông kí hiệu diện tích tam giác.

Chứng minh rằng $d^2+(a-b)^2\lt c^2$, trong đó $d$ là đường kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Cho $A=\{1,2,\ldots,100\}$ và tập con $B$ của $A$ có $48$ phần tử. Chứng minh rằng $B$ có hai phần tử phân biệt $x,y$ sao cho $x+y$ chia hết cho $11$.