Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2011 Khối 8

Vẽ ba đường thẳng trong một mặt phẳng. Số nào sau đây KHÔNG THỂ là tổng số giao điểm của chúng?

Chữ số tận cùng của số \(A=7^{2011}\) là

Số nguyên lớn nhất không vượt quá \(\sqrt[3]{2011^3+3\cdot2011^2+4\cdot2011+5}\) là bao nhiêu?

Trong bốn mệnh đề về số thực dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

1. Nếu \(a\lt b\lt 0\) thì \(a\lt b^2\).
2. Nếu \(0\lt a\lt b\) thì \(a\lt b^2\).
3. Nếu \(a^3\lt b^3\) thì \(a\lt b\).
4. Nếu \(a^2\lt b^2\) thì \(a\lt b\).
5. Nếu \(|a|\lt |b|\) thì \(a\lt b\).

Chú thích cách đọc của biên tập: nguồn ghi “bốn mệnh đề” nhưng thực tế in năm mệnh đề trên. Ta xét cả năm mệnh đề được in.

Cho \(M=7!\cdot8!\cdot9!\cdot10!\cdot11!\cdot12!\). Có bao nhiêu ước của \(M\) là số chính phương?

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((m,n)\) thỏa mãn \(m^2+n^2+3=4(m+n)\).

Tìm tất cả các cặp số thực \((x,y)\) thỏa mãn \(x+y=3\) và \(x^4-y^4=8x-y\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=|x+1|+|x+5|+|x+14|+|x+97|+|x+1920|\).

Giải phương trình \(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2011}=0\).

Quy ước miền nghiệm của biên tập: xét nghiệm thực; nguồn không nêu rõ miền nghiệm.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=c\), \(AC=b\). Lấy \(P\in AC\), \(Q\in AB\) sao cho \(\angle APQ=\angle ABC\) và \(\angle AQP=\angle ACB\). Tính \(PQ+PE+QF\), trong đó \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(P,Q\) trên \(BC\).

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB=BC=3\text{ cm}\), \(CD=4\text{ cm}\), \(DA=8\text{ cm}\) và \(\angle DAB+\angle ABC=180^\circ\). Tính diện tích tứ giác.

Quy ước của biên tập: \(ABCD\) là tứ giác đơn, lồi thông thường, với các đỉnh theo thứ tự đã ghi.

Cho \(a\gt 0,b\gt 0,a+b\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M=\frac1{ab}+\frac1{a^2+ab}+\frac1{ab+b^2}+\frac1{a^2+b^2}\).