Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2008 Khối 10

Cho \(b>0\). Có bao nhiêu số nguyên thuộc nửa khoảng \((b,2008b]\)?

Tìm tất cả cặp số nguyên dương \((m,n)\) thỏa mãn \(m^2+2n^2=3(m+2n)\).

Chứng minh phương trình \(x^2+8z=3+2y^2\) không có nghiệm nguyên dương \(x,y,z\).

Chứng minh có vô số cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau \((m,n)\) sao cho phương trình \(x^3-nx+mn=0\) có ba nghiệm nguyên phân biệt.

Tìm tất cả đa thức \(P(x)\) bậc 1 sao cho \(\max_{a\le x\le b}P(x)-\min_{a\le x\le b}P(x)=b-a\) với mọi số thực \(a<b\).

Cho \(a,b,c\in[1,3]\) thỏa mãn \(\max\{a,b,c\}\ge2\) và \(a+b+c=5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(a^2+b^2+c^2\).

Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương lẻ liên tiếp \((a,b,c)\), với \(a<b<c\), sao cho \(a^2+b^2+c^2\) là số có bốn chữ số giống nhau.

Cho tứ giác lồi \(ABCD\), \(O=AC\cap BD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(AOB,COD\), còn \(P,Q\) lần lượt là trực tâm các tam giác \(BOC,DOA\). Chứng minh \(MN\perp PQ\).

Cho tam giác \(ABC\). Với mỗi \(M\in BC\), lấy \(N\in CA\), \(P\in AB\) sao cho \(APMN\) là hình bình hành. Gọi \(O=BN\cap CP\). Tìm \(M\in BC\) để \(\angle PMO=\angle OMN\).

Cho tam giác vuông \(ABC\) với \(\angle A=90^\circ\), \(AB=c\), \(AC=b\). Lấy \(E\in AC\), \(F\in AB\) sao cho \(\angle AEF=\angle ABC\), \(\angle AFE=\angle ACB\). Gọi \(P,Q\in BC\) sao cho \(EP\perp BC\), \(FQ\perp BC\). Tính \(EP+EF+FQ\).