Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2013 Khối 8

Viết 2013 thành tổng của \(m\) số nguyên tố. Giá trị nhỏ nhất của \(m\) là:

Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) sao cho \(n^2+2014\) là số chính phương?

Số nguyên lớn nhất không vượt quá \([(n+1)\alpha]-[n\alpha]\), với \(n\) là số tự nhiên và \(\alpha=\frac{\sqrt{2013}}{\sqrt{2014}}\), là: (Dấu ngoặc vuông ký hiệu phần nguyên.)

Cho \(A\) là số nguyên chẵn nhưng không chia hết cho 10. Hai chữ số tận cùng của \(A^{20}\) là:

Số nghiệm nguyên \(x\) của phương trình \((12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=330\) là:

Cho tam giác \(ABC\) có diện tích \(1\text{ cm}^2\). Các điểm \(D,E,F\) lần lượt thuộc \(AB,BC,CA\). Chứng minh \(\min\{[ADF],[BED],[CEF]\}\le\tfrac14\text{ cm}^2\), trong đó ngoặc vuông ký hiệu diện tích.

Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A=90^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(BC=1\text{ cm}\). Dựng ra phía ngoài tam giác \(ABC\) ba tam giác đều \(ABD,ACE,BCF\). Tính diện tích \([DEF]\).

Cho ngũ giác lồi \(ABCDE\) có \([ABC]=[BCD]=[CDE]=[DEA]=[EAB]=2\text{ cm}^2\). Tính diện tích ngũ giác.

Giải hệ với \(x,y\gt 0\): \(x+y\le1\) và \(\frac2{xy}+\frac1{x^2+y^2}=10\).

Trong các hình chữ nhật có chu vi cố định \(p\), tìm giá trị lớn nhất của \(M=\frac{S}{2S+p+2}\), với \(S\) là diện tích.

Các số dương \(a,b,c,d,e\) thỏa mãn \((x+a)(x+b)(x+c)=x^3+3dx^2+3x+e^3\) với mọi số thực \(x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(d\).

Cho \(f(x)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(|f(x)|\lt 1\) với mọi \(x\in[-1,1]\). Chứng minh phương trình \(f(x)=2x^2-1\) có hai nghiệm thực.

Giải hệ \(\frac1x+\frac1y=\frac16\), \(\frac3x+\frac2y=\frac56\).

Giải hệ \(x^3+y=x^2+1\), \(2y^3+z=2y^2+1\), \(3z^3+x=3z^2+1\).

Gọi \(\mathbb Q\), \(\mathbb N^*\) lần lượt là tập số hữu tỉ và số nguyên dương. Giả sử \((ax+b)/x\in\mathbb Q\) với mọi \(x\in\mathbb N^*\). Chứng minh tồn tại các số nguyên \(A,B,C\) sao cho \(\frac{ax+b}{x}=\frac{Ax+B}{Cx}\) với mọi \(x\in\mathbb N^*\).