Câu hỏi 1
Hai chữ số tận cùng của số $(3+7+11+\cdots+2007)^2$ là gì?
Ngân hàng câu hỏi HOMC 2007
Đề thi
30 câu hỏi
Câu hỏi 2
Số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn $n^{2006}\lt 7^{2007}$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 3
Số nào sau đây có thể là số đường chéo của một đa giác lồi?
Ghi chú biên soạn: Trong bản nhập này, hãy chọn tất cả phương án đúng.
Ghi chú biên soạn: Trong bản nhập này, hãy chọn tất cả phương án đúng.
Câu hỏi 4
Gọi $m,n$ lần lượt là số chữ số của $2^{2007}$ và $5^{2007}$ trong hệ thập phân. Tính $m+n$.
Câu hỏi 5
Cho khoảng mở $(\alpha;eta)$ có $eta-\alpha=\frac1{2007}$. Tìm số lượng lớn nhất các phân số tối giản $\frac ab$ nằm trong khoảng đó, với $1\le b\le2007$.
Câu hỏi 6
Trong tam giác $ABC$, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle ACB=90^\circ$ và $D$ nằm trên $BC$. Biết $AD$ là phân giác của $\angle BAC$ và $CD=3\text{ cm}$. Độ dài $DB$ bằng
Câu hỏi 7
Có chín điểm nằm trong một tam giác đều cạnh 4, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ba điểm là đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn $\sqrt3$.
Câu hỏi 8
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương. Chứng minh $\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\ge\frac35$.
Câu hỏi 9
Một tam giác được gọi là tam giác Heron nếu các cạnh và diện tích đều là số nguyên. Trong một tam giác Heron, các cạnh $a,b,c$ thỏa mãn $b=a(a-c)$. Chứng minh tam giác đó cân.
Câu hỏi 10
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac1{bc}+\frac1{ca}+\frac1{ab}\ge1$. Chứng minh $\frac a{bc}+\frac b{ca}+\frac c{ab}\ge1$.
Câu hỏi 11
Có bao nhiêu giá trị có thể có của tổng $a+b+c+d$ nếu $a,b,c,d$ là các số nguyên dương và $abcd=2007$?
Câu hỏi 12
Tính tổng $\frac5{2\cdot7}+\frac5{7\cdot12}+\cdots+\frac5{2002\cdot2007}$.
Câu hỏi 13
Cho tam giác $ABC$. Tìm tất cả các điểm $M$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ bằng diện tích tam giác $MAC$.
Câu hỏi 14
Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $2x^2+y^2+xy=2(x+y)$?
Câu hỏi 15
Cho $p=\overline{abc}$ là số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ.
Câu hỏi 1
Hai chữ số tận cùng của số $(11^2+15^2+19^2+\cdots+2007^2)^2$ là gì?
Câu hỏi 2
Số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn $n^{2007}\gt (2007)^n$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 3
Tìm số bộ ba số nguyên dương khác nhau $(x,y,z)$ thỏa mãn $x+y-z=1$ và $x^2+y^2-z^2=1$.
Câu hỏi 4
Sắp xếp các số $\sqrt2$, $\sqrt[3]3$, $\sqrt[4]4$, $\sqrt[5]5$, $\sqrt[6]6$ theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.
Câu hỏi 5
Cho các điểm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn, $AB$ là đường kính, $CD$ vuông góc với $AB$ tại $E$. Biết $AB,CD$ là các số nguyên và $AE-EB=\sqrt3$. Tìm $AE$.