Kỳ thi Toán học mở rộng Hà Nội 2006 Khối 10

Ba chữ số tận cùng của tổng $11!+12!+13!+\cdots+2006!$ là gì?

Tìm ba chữ số tận cùng của tổng $2005^{11}+2005^{12}+\cdots+2005^{2006}$.

Giả sử $a^{\log_b c}+b^{\log_c a}=m$. Tìm giá trị của $c^{\log_b a}+a^{\log_c b}$.

Trong các số $2^{\sqrt2}$, $2^{1+\frac1{\sqrt2}}$ và $3$, số nào lớn hơn?

Cho lục giác đều $ABCDEF$. Tìm tất cả các điểm $M$ thuộc lục giác sao cho diện tích tam giác $MAC$ bằng diện tích tam giác $MCD$.

Làm rõ cách hiểu: M thuộc miền lục giác kín, kể cả đường biên; cho phép các tam giác có diện tích bằng 0.

Trên đường tròn bán kính $30\text{ cm}$, cho hai điểm $A,B$ với $AB=16\text{ cm}$ và $C$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách vuông góc từ $C$ đến đường tròn bằng bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $PQ\parallel BC$, với $P,Q$ lần lượt thuộc $AB,AC$. Hai đường thẳng $PC,QB$ cắt nhau tại $G$. Cho $EF\parallel BC$, với $G\in EF$, $E\in AB$, $F\in AC$, $PQ=a$, $EF=b$. Tính $BC$.

Làm rõ cách hiểu: xét tam giác không suy biến và P,Q nằm trong các cạnh đã nêu để giao điểm G được xác định.

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P(x)+\left(\frac1x\right)=x+\frac1x$, với mọi $x\ne0$.

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $|x^3+y^3+z^3-xyz|$.