Ngân hàng câu hỏi HOMC 2011

Vẽ ba đường thẳng trong một mặt phẳng. Số nào sau đây KHÔNG THỂ là tổng số giao điểm của chúng?

Chữ số tận cùng của số \(A=7^{2011}\) là

Số nguyên lớn nhất không vượt quá \(\sqrt[3]{2011^3+3\cdot2011^2+4\cdot2011+5}\) là bao nhiêu?

Trong bốn mệnh đề về số thực dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

1. Nếu \(a\lt b\lt 0\) thì \(a\lt b^2\).
2. Nếu \(0\lt a\lt b\) thì \(a\lt b^2\).
3. Nếu \(a^3\lt b^3\) thì \(a\lt b\).
4. Nếu \(a^2\lt b^2\) thì \(a\lt b\).
5. Nếu \(|a|\lt |b|\) thì \(a\lt b\).

Chú thích cách đọc của biên tập: nguồn ghi “bốn mệnh đề” nhưng thực tế in năm mệnh đề trên. Ta xét cả năm mệnh đề được in.

Cho \(M=7!\cdot8!\cdot9!\cdot10!\cdot11!\cdot12!\). Có bao nhiêu ước của \(M\) là số chính phương?

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((m,n)\) thỏa mãn \(m^2+n^2+3=4(m+n)\).

Tìm tất cả các cặp số thực \((x,y)\) thỏa mãn \(x+y=3\) và \(x^4-y^4=8x-y\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=|x+1|+|x+5|+|x+14|+|x+97|+|x+1920|\).

Giải phương trình \(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2011}=0\).

Quy ước miền nghiệm của biên tập: xét nghiệm thực; nguồn không nêu rõ miền nghiệm.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=c\), \(AC=b\). Lấy \(P\in AC\), \(Q\in AB\) sao cho \(\angle APQ=\angle ABC\) và \(\angle AQP=\angle ACB\). Tính \(PQ+PE+QF\), trong đó \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(P,Q\) trên \(BC\).

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB=BC=3\text{ cm}\), \(CD=4\text{ cm}\), \(DA=8\text{ cm}\) và \(\angle DAB+\angle ABC=180^\circ\). Tính diện tích tứ giác.

Quy ước của biên tập: \(ABCD\) là tứ giác đơn, lồi thông thường, với các đỉnh theo thứ tự đã ghi.

Cho \(a\gt 0,b\gt 0,a+b\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(M=\frac1{ab}+\frac1{a^2+ab}+\frac1{ab+b^2}+\frac1{a^2+b^2}\).

Một số nguyên được gọi là “octal” nếu nó chia hết cho 8 hoặc có ít nhất một chữ số bằng 8. Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 100 là octal?

Số nào sau đây nhỏ nhất?

Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn \(\sqrt[3]{2011^3+3\cdot2011^2+4\cdot2011+5}\) là bao nhiêu?

Chứng minh \(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2011}\ge0\) với mọi \(x\ge-1\).

Cho các số nguyên dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+2b+3c=100\). Tìm giá trị lớn nhất của \(M=abc\).

Tìm tất cả các cặp số thực \((x,y)\) thỏa mãn \(x+y=2\) và \(x^4-y^4=5x-3y\).

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\lt 100\) sao cho \(4a^2+3a+5\) chia hết cho 6?

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=|x+1|+|x+5|+|x+14|+|x+97|+|x+1920|\).