Cho hàm $f$ từ tập số nguyên dương vào tập số nguyên dương, thỏa mãn với mọi số nguyên dương $x,y$:
$$(x+y)f(x)\le x^2+f(xy)+110.$$
Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $f(23)+f(2011)$.
Một số $n$ có hai chữ số được chia cho tổng các chữ số của nó, thu được số dư $r$.
a. Tìm một số $n$ sao cho $r=0$.
b. Chứng minh rằng $r$ không thể lớn hơn $15$.
c. Chứng minh rằng với mọi số dư $r$ không quá $12$, tồn tại một số $n$ mà khi chia cho tổng các chữ số của nó ta được số dư $r$.
Cho dãy số nguyên $(x_n)_{n\ge0}$ thỏa một hệ thức truy hồi tuyến tính cấp $k$, với $k$ là số nguyên dương cố định: tồn tại các hằng số thực $c_1,\ldots,c_k$ sao cho
$$x_{n+k}=\sum_{r=1}^k c_rx_{n+k-r}\qquad(n\ge0).$$
Giả sử $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất đó. Chứng minh $c_j\in\mathbb Z$ với mọi $1\le j\le k$.
Cho tam giác $ABC$ với $AC\lt AB\lt BC$. Chọn $D$ trên cạnh $AB$. Đường tròn ngoại tiếp $ABC$ cắt phân giác trong của $\angle A$ tại $E\ne A$ và cắt $CD$ tại $F\ne C$. Gọi $K=BC\cap DE$. Chứng minh $CK=AC$ khi và chỉ khi $DK\cdot EF=AC\cdot DF$.
Trong một giải quần vợt, mỗi người chơi chỉ được vào vòng tiếp theo nếu thắng. Nếu không thể luôn đưa một số chẵn người vào vòng sau, ban tổ chức quyết định những vòng nào mà một số người phải thi đấu. Chẳng hạn, theo quyết định của ban tổ chức, một hạt giống có thể bắt đầu ở vòng hai hoặc chuyển từ vòng một thẳng sang vòng ba, sao cho số người thi đấu ở mỗi vòng là chẵn.
a. Một giải có 64 người chơi sẽ có bao nhiêu trận?
Emerald viết các số nguyên từ $1$ đến $9$ vào bảng $3\times3$, mỗi ô một số, mỗi số xuất hiện đúng một lần. Sau đó cô tính tám tổng: tổng ba số trên mỗi hàng, trên mỗi cột và trên mỗi đường chéo.
a. Đưa ra một bảng sao cho đúng ba trong tám tổng chia hết cho $3$.
b. Có thể không có tổng nào trong tám tổng chia hết cho $3$ không?
Bốn cạnh $AB,BC,CD,DA$ của tứ giác $ABCD$ tiếp xúc với đường tròn tâm $O$, và
$$OA=5,\quad OB=6,\quad OC=7,\quad OD=8.$$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD$. Tìm $OM:ON$. Với đoạn $XY$, ký hiệu $XY$ cũng chỉ độ dài của nó.
Ta gọi một số là pal nếu nó không có chữ số $0$ và tổng bình phương các chữ số là một số chính phương. Chẳng hạn $2115522$ là pal (vì $2^2+1^2+1^2+5^2+5^2+2^2+2^2=8^2$), còn $304$ và $12$ không là pal.
a. Số pal có hai chữ số lớn nhất là bao nhiêu?
b. Có tồn tại số pal có $2011$ chữ số không?
Mỗi biển số xe đạp ở Quixajuba gồm ba chữ cái. Chữ đầu được chọn từ $\mathcal A=\{\mathrm G,\mathrm H,\mathrm L,\mathrm P,\mathrm R\}$, chữ thứ hai từ $\mathcal B=\{\mathrm M,\mathrm I,\mathrm O\}$ và chữ thứ ba từ $\mathcal C=\{\mathrm D,\mathrm U,\mathrm N,\mathrm T\}$.
Do số xe đạp tăng, thành phố cần mở rộng số biển số có thể có. Người ta quyết định thêm hai chữ mới vào một tập duy nhất, hoặc thêm một chữ mới vào mỗi tập trong hai tập.
Số biển số mới lớn nhất có thể tạo ra khi thêm hai chữ mới là bao nhiêu?
Cho $a_0,a_1,\ldots,a_{1000}$ là các chữ số. Tổng của hai số có $1001$ chữ số $a_0a_1\ldots a_{1000}$ và $a_{1000}a_{999}\ldots a_0$ có thể chỉ gồm các chữ số lẻ hay không?
Trên một bảng $123\times123$, mỗi ô được tô tím hoặc xanh theo các điều kiện:
- Mỗi ô tím không nằm ở biên bảng có đúng 5 ô xanh trong 8 ô kề nó.
- Mỗi ô xanh không nằm ở biên bảng có đúng 4 ô tím trong 8 ô kề nó.
Chú ý: Hai ô kề nhau nếu chung một cạnh hoặc một đỉnh.
a) Xét một bảng con $3\times3$ bên trong bảng $123\times123$. Bảng con có thể có bao nhiêu ô mỗi màu?
Có bốn thẻ, mỗi thẻ ghi một số nguyên dương có một chữ số. Chọn hai thẻ khác nhau và lấy tổng hai số trên đó, ta thu được đúng bốn số nguyên phân biệt. Nếu lấy tích thì thu được đúng ba số nguyên phân biệt. Tìm mọi bộ số có thể ghi trên bốn thẻ.
Cho $a_1,a_2,\dots,a_{2011}$ là các số thực không âm có tổng bằng $\frac{2011}{2}$. Chứng minh rằng
$$
\left|\prod_{cyc}(a_n-a_{n+1})\right|
=\left|(a_1-a_2)(a_2-a_3)\dots(a_{2011}-a_1)\right|
\le\frac{3\sqrt3}{16}.
$$
Bốn xe $A,B,C,D$ tham gia cuộc đua từ São Paulo tới Fortaleza, xuất phát theo thứ tự: $A$ trước, rồi $B$, $C$, cuối cùng là $D$. Trong cuộc đua, $A$ và $B$ đổi thứ tự cho nhau (vượt nhau) 9 lần, còn $B$ và $C$ đổi thứ tự 8 lần.
Để biết thứ tự về đích tại Fortaleza, chỉ được hỏi các câu dạng:
“Hai xe $X$ và $Y$ đổi thứ tự bao nhiêu lần?”
Trước khi hỏi câu tiếp theo, ta đã biết đáp án câu trước. Hãy đặt ba câu hỏi để xác định thứ tự về đích của cả bốn xe.
Cho bàn cờ hình chữ nhật $m\times n$, mỗi hàng có $m$ ô đơn vị và mỗi cột có $n$ ô. Gán một số nguyên cho mỗi ô. Hình chữ nhật $R$ gồm một hoặc nhiều ô đơn vị được gọi là một “kệ” nếu tồn tại số nguyên $h$ thỏa:
1. Số trong mỗi ô thuộc $R$ lớn hơn $h$.
2. Số trong mỗi ô ngoài $R$ có chung cạnh hoặc điểm với $R$ không vượt quá $h$.
(Giả sử $R$ chứa tất cả các ô bên trong hình chữ nhật.) Số kệ lớn nhất có thể đạt được khi gán các số nguyên là bao nhiêu?
