MathNet 2011

Gọi $p$ là đáp số của câu hỏi này. Chọn một điểm ngẫu nhiên đều trong hình vuông giới hạn bởi $x=0$, $x=1$, $y=0$ và $y=1$. Xác suất để ít nhất một tọa độ của điểm đó lớn hơn $p$ là bao nhiêu?

Tìm ít nhất một số nguyên $a$ sao cho với đa thức $P(x)=x^5+ax$, mệnh đề
“nếu $n\mid P(k)-P(l)$ thì $n\mid k-l$, với mọi $k,l\in\mathbb Z$”
chỉ đúng với hữu hạn số nguyên dương $n$, trong đó có $n=95$.

Mỗi cạnh và mỗi đường chéo của một đa giác lồi $n$ cạnh được tô một trong $k$ màu. Biết rằng không tồn tại đường gấp khúc khép kín đơn sắc có các đỉnh cũng là đỉnh của đa giác đã cho. Xác định giá trị lớn nhất có thể của $n$. (Russia 1990)

Có 8 con xúc xắc giống hệt nhau. Các số $4$, $5$, $6$ được viết trên ba mặt như hình; các mặt còn lại mang các số $1$, $2$, $3$ sao cho tổng hai số trên mỗi cặp mặt đối diện bằng $7$.



a) Chứng minh rằng có thể ghép các con xúc xắc này thành một khối lập phương $2\times2\times2$ sao cho hai mặt tiếp xúc luôn mang cùng số.

b) Có thể ghép như vậy sao cho trên bề mặt ngoài của khối lập phương chỉ xuất hiện các số $4$, $5$, $6$ không?

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $\Delta_1,\Delta_2$ là ảnh của đường thẳng $AB$ qua các phép đối xứng trục lần lượt là phân giác trong của $\angle CAD,\angle CBD$. Gọi $P$ là giao điểm của $\Delta_1,\Delta_2$. Chứng minh rằng $OP$ và $CD$ vuông góc.

Các số $0,1,2$ được viết tại ba đỉnh của một tam giác. Mỗi bước tăng hai trong ba số thêm $m$ hoặc giảm một trong ba số đi $n$. Sau một số bước, có thể có các số $1,2,3$ ở ba đỉnh theo thứ tự tùy ý không, nếu

a) $m=3,n=6$;

b) $m=4\frac12,n=6$?

Trong mặt phẳng có 2011 điểm đôi một khác nhau, mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ.

a. Giả sử với mỗi điểm xanh, hình tròn tâm tại điểm đó bán kính 1 chứa đúng hai điểm đỏ. Số điểm xanh lớn nhất có thể là bao nhiêu?

b. Giả sử với mỗi điểm xanh, đường tròn tâm tại điểm đó bán kính 1 chứa đúng hai điểm đỏ. Số điểm xanh lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Trong hình chữ nhật $ABCD$, có $|AB|=a$, $|BC|=b$, với $a\ge b$. Điểm $E$ nằm trong cạnh $AB$ sao cho có đúng một cách chọn các điểm $F,G,H$ lần lượt trên các cạnh $BC,CD,DA$ để $EFGH$ cũng là hình chữ nhật. Tìm tỷ số diện tích hai hình chữ nhật $EFGH$ và $ABCD$.

Rachel và Brian chơi trên một lưới gồm một hàng $2011$ ô. Ban đầu có một quân trắng ở mỗi ô trong hai ô đầu từ trái, và một quân đen ở ô thứ ba. Mỗi bước Rachel chọn chạy hoặc chiến đấu. Nếu chạy, cô chuyển quân đen sang phải một ô và Brian chuyển mỗi quân trắng sang phải một ô. Nếu chiến đấu, cô đẩy quân ngay bên trái quân đen sang trái một ô, chuyển quân đen sang phải một ô, rồi Brian đặt một quân trắng mới vào ô ngay bên trái quân đen. Trò chơi kết thúc khi quân đen đến ô cuối. Có bao nhiêu cấu hình cuối khác nhau?

Chứng minh rằng không số nguyên nào có đúng một chữ số $2$, một chữ số $1$ và tất cả các chữ số còn lại là $0$ có thể biểu diễn thành tổng hai số chính phương hoặc tổng hai số lập phương.

Với mọi số thực dương $a,b,c$, chứng minh
$$\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\ge a+b+c.$$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f(x^2+f(y))=y-x^2$ với mọi $x,y\in\mathbb R$.

Tìm tất cả các giá trị thực $x$ thỏa mãn

$$

\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}+\frac1{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}=\frac14.

$$

Cho số nguyên $n\ge3$. Xác định số điểm ít nhất cần đánh dấu bên trong một đa giác lồi $n$ cạnh sao cho miền trong của mọi tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều chứa ít nhất một điểm đã đánh dấu.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Xác định tổng số nghiệm thực lớn nhất mà ba đa thức sau có thể có: $ax^2+bx+c$, $bx^2+cx+a$ và $cx^2+ax+b$.

Trong tam giác vuông $ABC$, số đo góc $ABC$ tính bằng độ là một số nguyên. Biết rằng với một số nguyên dương $n$, có thể chọn các điểm $K_0=A,K_2,\dots,K_{2n}$ trên cạnh huyền $AB$ và các điểm $K_1=C,K_3,\dots,K_{2n+1}=B$ trên cạnh góc vuông $CB$ sao cho mỗi tam giác $K_{i-1}K_iK_{i+1}$, $i=1,\dots,2n$, cân tại $K_i$ với đáy $K_{i-1}K_{i+1}$. Tìm mọi giá trị có thể của góc $ABC$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $x^3+x^2+x=y^2+y$.

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $1$. Các điểm $D,E$ lần lượt nằm trên $AB,AC$ sao cho $DE$ song song với $BC$ và $DE/BC=1/3$. Nếu $F$ là ảnh đối xứng của $A$ qua $DE$, hãy tìm diện tích tam giác $FBC$.

Nathaniel và Obediah chơi một trò chơi, lần lượt gieo một con xúc xắc công bằng sáu mặt và ghi tổng cộng dồn của kết quả mọi lần gieo. Một người thắng nếu sau lần gieo của mình, tổng là bội của $7$. Trò chơi tiếp tục cho đến khi có người thắng, hoặc kéo dài vô hạn. Nếu Nathaniel đi trước, hãy xác định xác suất cuối cùng cậu ấy thắng.

Cho $P_1,P_2,\dots,P_{2n}$ là một hoán vị các đỉnh của một đa giác đều $2n$ cạnh. Chứng minh mọi đường gấp khúc khép kín gồm các đoạn
$$\overline{P_1P_2},\overline{P_2P_3},\dots,\overline{P_{2n-1}P_{2n}},\overline{P_{2n}P_1}$$
đều chứa ít nhất một cặp đoạn thẳng song song.