Cho tứ giác lồi $ABCD$. Các điểm $E,F,G,H$ lần lượt nằm trên $AB,BC,CD,DA$, sao cho ba đường thẳng $AB,FH,CD$ đồng quy và ba đường thẳng $BC,EG,AD$ đồng quy. Đặt $O=EG\cap FH$. Xét bốn tứ giác $AHOE,BEOF,CFOG,DGOH$. Chứng minh nếu ba tứ giác ngoại tiếp đường tròn thì tứ giác còn lại cũng vậy. Tứ giác ngoại tiếp có một đường tròn nằm bên trong và tiếp xúc cả bốn cạnh.
Xét đa thức bậc hai $p(x)=ax^2+bx+c$, $a\ne0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Chứng minh $a^2+3ac-b^2=0$ là điều kiện đủ để $p(x_1^3)=p(x_2^3)$. Điều kiện đó có cần không?
Mỗi số hữu tỉ được tô trắng hoặc đỏ. Gọi cách tô là sanferminera nếu với hai số hữu tỉ phân biệt $x,y$, khi một trong ba điều kiện $xy=1$, $x+y=0$, $x+y=1$ đúng thì hai số được tô khác màu. Có bao nhiêu cách tô sanferminera?
Cho điểm $O$ bên trong tam giác $ABC$. Kéo dài $AO,BO,CO$ cắt $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh $O$ nằm trong tam giác trung bình của $A_1B_1C_1$ (tam giác nối trung điểm ba cạnh).
Olesya viết một số tự nhiên $N$. Sau đó Andriy viết các số bằng một phần sáu, một phần năm, một phần tư, một phần ba và một nửa của $N$. Tổng tất cả các số đã viết là số nguyên. Số nhỏ nhất Olesya có thể viết là bao nhiêu?
Tìm mọi bộ số thực không âm $(a,b,c,d)$ thỏa mãn
$$\begin{aligned}a^2(b+c)(b+c+d)&=\sqrt{b+c}\sqrt[3]{b+c+d},\\b^2(c+d)(c+d+a)&=\sqrt{c+d}\sqrt[3]{c+d+a},\\c^2(d+a)(d+a+b)&=\sqrt{d+a}\sqrt[3]{d+a+b},\\d^2(a+b)(a+b+c)&=\sqrt{a+b}\sqrt[3]{a+b+c}.\end{aligned}$$
Gọi $H$ là giao hai đường cao $AP,CQ$ của tam giác nhọn $ABC$. Trên trung tuyến $BM$ chọn $E,F$ sao cho $\angle APE=\angle BAC$, $\angle CQF=\angle BCA$; $E$ nằm trong tam giác $APB$, $F$ nằm trong tam giác $CQB$. Chứng minh $AE,CF,BH$ đồng quy.
Cho số chẵn $n\gt 2$ và các số thực $x_1,\ldots,x_n$ thỏa mãn
$$\sum_{1\le i\lt j\le n}(x_i-x_j)^2=1.$$
Tìm giá trị lớn nhất của $\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i+1})^2$, với $x_{n+1}=x_1$.
Cho đa thức hệ số nguyên $f(x_1,\ldots,x_n)$ có tổng bậc nhỏ hơn $n$. Chứng minh số bộ có thứ tự $(x_1,\ldots,x_n)$ với $0\le x_i\le12$ và
$$f(x_1,\ldots,x_n)\equiv0\pmod{13}$$
chia hết cho13.
Xét mọi đa thức hệ số nguyên $f(x)=(x-a_1)\cdots(x-a_{100})$, trong đó tất cả $a_i$ là số thực. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\{a_1\}+\cdots+\{a_{100}\}$. Ở đây $\{x\}=x-[x]$ và $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Các số nguyên dương $K,B,W$ thỏa mãn $B\gt W\gt 1$. Ban đầu một đống gồm $B$ bóng đen, đống kia gồm $W$ bóng trắng. Mỗi thao tác sắp tất cả các đống theo kích thước không tăng, đống trắng đứng trước đống đen nếu bằng nhau. Chọn $K$ đống đầu, hoặc tất cả nếu ít hơn, rồi chia mỗi đống được chọn thành hai đống chênh nhau nhiều nhất 1 bóng.
Ví dụ nguồn lấy $K=4$, các đống đen 5,4,4,2 và trắng 8,4,2, rồi ghi thứ tự $(w8,b5,w4,b4,w2,b2)$. Bốn đống đầu chia thành $(4,4),(3,2),(2,2),(2,2)$, và thứ tự mới được ghi là $(w4,w4,b4,b3,w2,w2,w2,b2,b2,b2)$.
Lặp lại đến khi lần đầu xuất hiện đống một bóng trắng sau thao tác. Chứng minh vẫn có đống đen ít nhất 2 bóng.
Cho bảng chữ cái có $n$ chữ. Một từ chứa palindrome nếu có một đoạn liên tiếp dài hơn một chữ đọc xuôi và ngược giống nhau. Ví dụ OLIMPIADAS chứa ADA. Với số nguyên $k\gt2$, có bao nhiêu từ dài $k$ không chứa palindrome độ dài lẻ?
Cho các đa thức hệ số thực $P(x),Q(x)$ với $P(0)\gt 0$ và mọi hệ số của $S(x)=P(x)Q(x)$ đều không âm. Chứng minh với mọi $x\gt 0$:
$$S(x^2)-S^2(x)\le\frac14\bigl(P^2(x^3)+Q(x^3)\bigr).$$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh
$$\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\ge\frac52.$$
Khi nào đạt dấu bằng?
Cho đường tròn $K_1$ tâm $O_1$ và đường tròn $K_2$ tâm $O_2$ đi qua $O_1$. Hai đường tròn cắt nhau tại $A,B$. Đường tròn $K_1$ cắt đoạn $O_1O_2$ tại $C$. Đường thẳng $BC$ cắt $K_2$ tại $B,D$; đường thẳng $AD$ cắt $K_1$ tại $A,E$. Gọi $F$ là trung điểm $AE$. Chứng minh $O_1A,O_1D$ chia góc $CO_1F$ thành ba phần bằng nhau.
Xét khẳng định: với mỗi số nguyên $n\ge2$, số dư khi chia $2^{2n}$ cho $2^n-1$ là một lũy thừa của 4. Hãy chứng minh hoặc đưa ra phản ví dụ có chứng minh.
Cho tập $A$ có 225 phần tử và 11 tập con $A_1,\ldots,A_{11}$ sao cho $|A_i|=45$ và $|A_i\cap A_j|=9$ với mọi $i\lt j$. Chứng minh $|A_1\cup\cdots\cup A_{11}|\ge165$ và cho ví dụ đạt dấu bằng.
