MathNet 2011

Tìm mọi cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn
$$|x+|x+|x||\cdot||-y|-y|-y|=2011.$$

Chứng minh rằng nếu các số dương $a,b,c,k,l,m$ thỏa mãn $abc\ge ka+lb+mc$ thì $a+b+c\ge\sqrt3(\sqrt k+\sqrt l+\sqrt m)$.

M là trung điểm BC của tam giác nhọn ABC. N,K lần lượt là chân các đường cao AN,CK, và H là trực tâm. Tia phân giác góc ACB cắt đoạn AH tại T. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác NBK, biết $CT\parallel MH$ và TH=10. (Slovenia, 2010)

Giải bất phương trình
$$\max\{|x|-1,x^2-1\}\le\min\{x^2-1,1-x\},$$
trong đó $\max\{a,b\}=a$ nếu $a\ge b$, bằng $b$ nếu $a\lt b$; $\min\{a,b\}=b$ nếu $a\ge b$, bằng $a$ nếu $a\lt b$.

Chứng minh rằng $9\cdot2^m$ biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên dương với mọi số nguyên dương $m$.

Dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi
$$a_0=1,\quad a_1=-1,\qquad a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}\quad(n\ge2).$$
Chứng minh $a_{2012}-2010$ chia hết cho $2011$.

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mọi $x\gt 0$,
$$\frac{x^n(x^{n+1}+1)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}.$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?

Tìm tất cả các số chính phương có bốn chữ số dạng $\overline{aabb}$.

Tìm các số phân biệt $a,b,c,d$ sao cho
$$\frac1{2011}=\frac a{a+1}+\frac b{b+1}-\frac c{c+1}-\frac d{d+1}.$$

Các điểm $A_1,B_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $AC,BC$ của tam giác $ABC$ sao cho $AA_1+BB_1=AB$. Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$ và $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C$. Chứng minh $OI\perp A_1B_1$. (I. Voronovich)

Có tồn tại một tứ giác không có hai cạnh song song, chia được thành 2011 tam giác cân không?

Cho dãy số thực $(x_n)$ với $x_1=1$ và
$$x_n=\frac{2n}{(n-1)^2}\sum_{i=1}^{n-1}x_i\quad(n\ge2).$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_n=x_{n+1}-x_n$. Chứng minh $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$.

Gọi $S(n)$ là tổng các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n\in\mathbb N$. Có tồn tại số nguyên $n$ sao cho


$$\text{a) }n-S(n)=3\cdot2010;\qquad\text{b) }n-S(n)=3\cdot2011?$$


(I. Gorodnin)

Chọn $M,N$ trên các cạnh $AD,BC$ của hình vuông $ABCD$ sao cho $AM=BN$. Gọi $X$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $AN$. Chứng minh góc $MXC$ vuông.

Các số thực khác $0$ là $a,b,c$ thỏa mãn


$$\frac{ab}{b-c}+\frac{bc}{c-a}+\frac{ca}{a-b}=\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}+6abc.$$



Tìm mọi giá trị có thể của


$$\frac1{(a^2-b^2)^2}+\frac1{(b^2-c^2)^2}+\frac1{(c^2-a^2)^2}.$$

Với các số thực không âm $a,b,c$, chứng minh
$$(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2\ge3(1+a\sqrt b+b\sqrt c+c\sqrt a).$$

Trong tam giác $ABC$, $AL,BM,CN$ là các trung tuyến. Chứng minh $\angle ANC=\angle ALB$ khi và chỉ khi $\angle ABM=\angle LAC$.

Tìm mọi số tự nhiên hai chữ số $N$ bằng tổng các chữ số của nó cộng với lập phương của tổng ấy.

Cho $n=11^{2011}\cdot2011^{11}$. Có bao nhiêu ước của $n^2$ nhỏ hơn $n$ nhưng không phải là ước của $n$?

Một số kỳ thủ tham gia giải cờ vòng tròn một lượt, mỗi cặp đấu đúng một ván. Thắng được $1$ điểm, hòa được $0{,}5$ điểm, thua được $0$ điểm. Mọi hai người có điểm khác nhau và người cuối bảng được $k$ điểm. Số ván thắng nhỏ nhất của người đứng đầu là bao nhiêu?