MathNet 2011

Cho số nguyên dương $m$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại các số thực $x_1,x_2,\dots,x_n\in(-1,1)$ thỏa mãn
$$|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|=m+|x_1+x_2+\cdots+x_n|.$$

Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh
$$\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}+\sqrt{ab}\le a+b.$$

Cho dãy $c_n$ xác định đệ quy như sau: $c_0=1$, $c_{2n+1}=c_n$ với $n\ge0$, và $c_{2n}=c_n+c_{n-2^e}$ với $n\gt0$, trong đó $e$ là số nguyên không âm lớn nhất sao cho $n$ chia hết cho $2^e$. Chứng minh
$$\sum_{i=0}^{2^n-1}c_i=\frac1{n+2}\binom{2n+2}{n+1}.$$

Cho các số thực $x_1,\ldots,x_8\ge0$ sao cho $x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\le1$ với $i=1,\ldots,8$, trong đó $x_9=x_1$ và $x_{10}=x_2$. Chứng minh
$$\sum_{i=1}^8x_ix_{i+2}\le1$$
và tìm tất cả các trường hợp dấu bằng.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa abc=1. Chứng minh
$$\begin{aligned}&(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\\&\quad\cdot(b^5+b^4+b^3+b^2+b+1)\\&\quad\cdot(c^5+c^4+c^3+c^2+c+1)\\&\ge8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).\end{aligned}$$

Cho số nguyên dương $n$, xác định số cạnh lớn nhất của một đồ thị đơn có $n$ đỉnh và không chứa chu trình độ dài chẵn.

Xét hai đa thức $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ và $Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0$ có hệ số nguyên, sao cho $a_n-b_n$ là số nguyên tố, $a_{n-1}=b_{n-1}$ và $a_nb_0-a_{n-1}b_n\ne0$. Giả sử tồn tại số hữu tỉ $r$ sao cho $P(r)=Q(r)=0$. Chứng minh $r$ là số nguyên.

Cho tam giác không đều $A_0A_1A_2$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh $A_iA_{i+1}$ tại $T_{i+2}$ (các chỉ số lấy modulo $3$). Gọi $X_i$ là hình chiếu vuông góc của $T_i$ lên đường thẳng $T_{i+1}T_{i+2}$. Chứng minh các đường thẳng $A_iX_i$ đồng quy tại một điểm nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $T_0T_1T_2$.

Một người thợ rèn đang làm hàng rào sắt nằm ngang gồm các thanh thẳng đứng song song, mỗi thanh cách hai thanh kề bên $18\,\mathrm{cm}$. Người thợ nối đầu trên của mỗi cặp thanh kề nhau bằng một thanh uốn thành cung tròn trong mặt phẳng các thanh. Điểm cao nhất của cung cách đường nét đứt đi qua đầu trên mọi thanh và vuông góc với chúng một khoảng $3\sqrt3\,\mathrm{cm}$. Mỗi thanh uốn thành cung dài bao nhiêu?



(A) $8\pi(\sqrt3-1)\,\mathrm{cm}$; (B) $6\pi\sqrt3\,\mathrm{cm}$; (C) $12\pi(\sqrt3-1)\,\mathrm{cm}$; (D) $4\pi\sqrt3\,\mathrm{cm}$; (E) $8\pi\sqrt3\,\mathrm{cm}$.

Cho $x$ là số nguyên dương có hai chữ số và $y$ là số nguyên dương có một chữ số. Giả sử chữ số hàng chục của $x$, chữ số hàng đơn vị của $x$ và $y$ đôi một khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất có thể của tích $xy$.

Cho số nguyên dương $n\gt3$. Tam giác đều ABC được chia thành n² tam giác đều “nhỏ” bằng nhau bởi các đường song song với các cạnh. Hình dưới minh họa trường hợp n=4. Gọi m là số hình thoi gồm 2 tam giác “nhỏ”, d là số hình thoi gồm 8 tam giác “nhỏ”. Tìm hiệu m-d theo n.

Có thể dùng 122 đường thẳng chia tam giác đều $ABC$ thành 2011 tam giác nhỏ không? (Phải có 2011 tam giác không bị chia nhỏ thêm và không có miền đa giác nào không phải tam giác.)

Trong một thành phố, số điện thoại phải có đúng tám chữ số và không được chứa chữ số $0$ (tức chỉ được dùng $1,2,3,\ldots,9$). Yêu cầu hai số điện thoại bất kỳ phải khác nhau ở ít nhất hai vị trí, hoặc có hai chữ số cách nhau ít nhất hai đơn vị ở ít nhất một trong tám vị trí. (Chẳng hạn, có thể đồng thời chọn $12345678$ và $23345678$ nếu không có xung đột khác với các số còn lại; hoặc đồng thời chọn $12345678$ và $92345678$ với cùng điều kiện; nhưng chỉ được chọn nhiều nhất một trong $12345678$ và $12345679$.)
Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số điện thoại thỏa các yêu cầu? Có bao nhiêu cách chọn số lượng ấy?

Chọn tùy ý năm trong chín đỉnh của một đa giác đều chín cạnh. Chứng minh rằng có thể chọn bốn trong năm đỉnh ấy làm các đỉnh của một hình thang.

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số ước dương của nó. Tìm mọi $n\in\mathbb N$ thỏa mãn $\tau(n)=n/3$.

Gabriele, người yêu thích các khối lập phương, mua một món sưu tầm tuyệt đẹp: một khối lập phương hoàn toàn bằng sô-cô-la, cạnh dài $10\,\mathrm{cm}$. Không may, vì thua một vụ cá cược với hai người bạn, cậu phải nhường hai phần ba thể tích khối sô-cô-la. Gabriele quyết định giữ cho mình một khối lập phương nhỏ hơn, có một đỉnh trùng với một đỉnh của khối đã mua và các mặt song song với các mặt của khối ấy. Cuối cùng, cậu nhường phần còn lại cho hai bạn. Gọi $S$ là diện tích toàn phần của khối sô-cô-la được nhường, tính bằng $\mathrm{cm}^2$. Khi đó:
(A) $300\le S\le350$;
(B) $350\lt S\le450$;
(C) $450\lt S\le550$;
(D) $550\lt S\le650$;
(E) $650\lt S\le750$.

Tìm tất cả các số nguyên tố dương $p,q$ sao cho $2p^3-q^2=2(p+q)^2$.

Xét một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số tự nhiên. Xếp vào trong hình chữ nhật nhiều hình vuông diện tích $3$ nhất có thể, với các cạnh hình vuông song song với các cạnh hình chữ nhật. Tổng diện tích của số hình vuông tối đa ấy bằng đúng một nửa diện tích hình chữ nhật. Tìm kích thước tất cả các hình chữ nhật có tính chất này.

a) Tìm giá trị lớn nhất của
$$x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n,$$
trong đó $x_1,x_2,\dots,x_n$ ($n\ge2$) là các số nguyên không âm có tổng bằng $2011$.

b) Tìm các số $x_1,x_2,\dots,x_n$ đạt giá trị lớn nhất ở a).

Tìm tất cả các đa thức $P\ne0$ có hệ số thực thỏa mãn
$$P(P(k))=P(k)^2\quad\text{với }k=0,1,2,\ldots,(\deg P)^2.$$