MathNet 2011

Tìm căn bậc hai của $25\cdot26\cdot27\cdot28+1$.

Tìm mọi đa thức $P,Q$ hệ số thực sao cho với vô hạn số nguyên dương $n$,
$$P(1)P(2)\dots P(n)=Q(n!).$$

Đặt $f(m)=2^{2^{2\cdots}}$ (gồm $m$ số $2$). Tìm số $m$ nhỏ nhất sao cho $\log_{10}f(m)$ lớn hơn $6$.

Cho hàm số $f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ thỏa mãn $xf(y)=yf(x)$ với mọi $x,y\in\mathbb R$. Tìm giao điểm của các đồ thị $y=f(x)$ và $y=x^2+1$, biết $f(1)=-1$.

Xét tập $A=\{1,2,3,\ldots,2011\}$. Có bao nhiêu tập con của $A$ mà tổng các phần tử bằng $2023060$?

Có bộ ba số nguyên dương $k,m,n$ không có ước chung lớn hơn $1$ thỏa mãn $k\log_{400}5+m\log_{400}2=n$. Tìm $k+m+n$.

Cho hai số phức $a,b$. Chứng minh hai mệnh đề sau tương đương:

1) Môđun của các nghiệm phương trình $x^2-ax+b=0$ lần lượt bằng môđun của các nghiệm phương trình $x^2-bx+a=0$.

2) $a^3=b^3$ hoặc $b=\bar a$.

Một bình chứa một quả bóng đen, bốn quả bóng trắng và một số quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên một quả, quan sát màu rồi bỏ lại bình. Sau đó lại rút ngẫu nhiên một quả. Với những số lượng bóng xanh nào thì xác suất hai quả được rút có cùng màu bằng $1/2$?

a) Chứng minh nếu $a,b\gt 1$ là hai số thực phân biệt thì
$$\log_a(\log_a b)\gt \log_b(\log_a b).$$
b) Cho $a_1\gt a_2\gt \dots\gt a_n\gt 1$, $n\ge2$. Chứng minh
$$\begin{gathered}\log_{a_1}(\log_{a_1}(a_2)+\log_{a_2}(\log_{a_2}(a_3)+\dots\\+\log_{a_{n-1}}(\log_{a_{n-1}}(a_n)+\log_{a_n}(\log_{a_n}(a_1))))\gt 0.\end{gathered}$$

Một giải đấu gồm các trận, mỗi trận có đúng ba người, lần lượt nhận $2$ điểm, $1$ điểm và $0$ điểm. Người không được điểm bị loại, những người còn lại tiếp tục được chia thành nhóm ba để thi đấu, có thể có một hoặc hai người được miễn vòng. Nếu có $999$ người tham dự, có bao nhiêu trận đã diễn ra khi nhà vô địch, người nhận hai điểm trong trận cuối, được tuyên bố?

Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm của hệ $$\begin{aligned}5x+7y+5z&=37\\6x-y-10z&=3.\end{aligned}$$

Cho số nguyên dương $m$ và số nguyên tố $p$. Giả sử $A$ là một vành có đơn vị, có đúng $m$ phần tử khả nghịch và $\underbrace{1+1+\cdots+1}_{p\text{ lần}}=0$. Chứng minh $A$ có phần tử lũy linh khác không khi và chỉ khi $m$ chia hết cho $p$.

Cho ba nghiệm thực của phương trình $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$.

Cho vành $A$ và phần tử $a\in A$. Chứng minh:

a) Nếu $A$ giao hoán và $a$ lũy linh thì $a+x$ khả nghịch với mọi phần tử khả nghịch $x\in A$.

b) Nếu $A$ hữu hạn và $a+x$ khả nghịch với mọi phần tử khả nghịch $x\in A$ thì $a$ lũy linh.

(Phần tử $a$ của một vành gọi là lũy linh nếu có số nguyên dương $n$ sao cho $a^n=0$.)

Tio Mané có hai hộp: một hộp gồm bảy quả bóng phân biệt đánh số từ $1$ đến $7$, hộp kia gồm tám quả bóng phân biệt đánh số bằng tất cả số nguyên tố nhỏ hơn $20$. Ông rút ngẫu nhiên một quả từ mỗi hộp.

Gợi ý: Tính xác suất tích là số lẻ. Xác suất tích hai số trên các quả bóng được rút là số chẵn bằng bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Trên đoạn $BC$ có điểm $D$ khác trung điểm của $BC$ sao cho $\angle XDY=\angle BAC$. Chứng minh $AD\perp BC$.

Một đa diện lồi có $100$ cạnh. Dùng dao phẳng sắc cắt bỏ mọi đỉnh ở gần chính đỉnh đó, sao cho các mặt phẳng cắt không giao nhau trong hoặc trên biên đa diện. Với đa diện thu được, hãy tính:
(a) số đỉnh;
(b) số cạnh.

Đa diện mới có bao nhiêu mặt?

Tìm tất cả các số nguyên dương $r$ sao cho tồn tại các số nguyên tố dương $p,q$ thỏa mãn $p^2+pq+q^2=r^2$.

Tính tổng $\sum_{k=1}^{19}k\binom{19}{k}$.

Hai chữ số cuối của $5^{2011}$ là gì?