Cho đường tròn $\Omega$ bán kính $8$, tâm $O$, và điểm $M$ trên $\Omega$. Gọi $S$ là tập các điểm $P$ sao cho $P$ nằm trong $\Omega$, hoặc tồn tại một hình chữ nhật $ABCD$ chứa $P$, có tâm nằm trên $\Omega$, $AB=4$, $BC=5$ và $BC\parallel OM$. Tìm diện tích $S$.
Hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$ cắt nhau tại $A,B$. Đường thẳng $l$ tiếp xúc $\omega_1$ tại $P$ và $\omega_2$ tại $Q$, sao cho $A$ gần $PQ$ hơn $B$. Các điểm $R,S$ lần lượt thuộc các tia $PA,QA$, thỏa $PQ=AR=AS$, và $R,S$ ở phía đối diện qua $A$ với $P,Q$ tương ứng. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ASR$, còn $C,D$ lần lượt là trung điểm các cung lớn $AP,AQ$. Biết $\angle APQ=45^\circ$ và $\angle AQP=30^\circ$, hãy tính $\angle COD$ theo độ.
Dãy số nguyên $\{a_i\}$ được xác định như sau: $a_i=i$ với mọi $1\leq i\leq5$, và $a_i=a_1a_2\cdots a_{i-1}-1$ với mọi $i\gt 5$. Tính $a_1a_2\cdots a_{2011}-\sum_{i=1}^{2011}a_i^2$.
Danny có $15$ quả bi-a mang các số $1,2,\ldots,15$. Có bao nhiêu cách đặt chúng vào $8$ hộp không phân biệt sao cho tổng các số trong mỗi hộp là $14$, $15$ hoặc $16$?
Các đoạn $AA'$, $BB'$, $CC'$, mỗi đoạn dài $2$, cùng cắt nhau tại $O$. Nếu $\angle AOC'=\angle BOA'=\angle COB'=60^\circ$, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của tổng diện tích các tam giác $AOC'$, $BOA'$, $COB'$.
Cho tam giác $ABC$ với $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$. Gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$. Các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD,ACD$ lần lượt tiếp xúc với $AD$ tại $P,Q$ và với $BC$ tại $X,Y$. Hai đường thẳng $PX,QY$ cắt nhau tại $Z$. Tính diện tích tam giác $XYZ$.
Nathaniel và Obediah chơi trò chơi luân phiên tung một con xúc xắc cân đối sáu mặt, đồng thời ghi lại tổng các kết quả của mọi lần tung. Một người thắng nếu sau lần tung của mình, tổng là bội của $7$. Trò chơi tiếp tục cho đến khi có người thắng, hoặc kéo dài vô hạn. Nếu Nathaniel đi trước, hãy xác định xác suất cuối cùng anh thắng.
Rosencrantz và Guildenstern chơi một trò liên tục tung đồng xu cân đối. Đặt $a_1=4$, $a_2=3$, và $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ với mọi $n\geq3$. Ở lần tung thứ $n$, nếu ngửa thì Rosencrantz trả Guildenstern $a_n$ đô la; nếu sấp thì Guildenstern trả Rosencrantz $a_n$ đô la. Nếu trò chơi kéo dài 2010 lượt, xác suất để Rosencrantz kết thúc với nhiều tiền hơn lúc bắt đầu là bao nhiêu?
Gọi $S$ là tập các điểm $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ mà $x,y,z$ là các số nguyên dương không quá 100. Cho song ánh $f$ từ $S$ đến $\{1,2,\ldots,1000000\}$ có tính chất: nếu $x_1\le x_2$, $y_1\le y_2$, $z_1\le z_2$ thì $f(x_1,y_1,z_1)\le f(x_2,y_2,z_2)$. Đặt
Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn tâm $O$. Gọi $O_1,O_2,O_3,O_4$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AOB,BOC,COD,DOA$. Biết $\angle A=120^\circ$, $\angle B=80^\circ$, $\angle C=45^\circ$, hãy tính góc nhọn giữa hai đường thẳng $O_1O_3$ và $O_2O_4$.
Mike và Harry chơi trên một bảng $8\times8$. Với một số nguyên dương $k$, Mike chọn $k$ ô và viết chữ $M$ vào mỗi ô. Sau đó Harry chọn $k+1$ ô và viết chữ $H$ vào mỗi ô. Khi Harry xong, Mike thắng nếu có một dãy chữ tạo thành “$HMM$” hoặc “$MMH$” khi đọc theo hàng ngang hoặc cột dọc; nếu không thì Harry thắng. Xác định giá trị nhỏ nhất của $k$ để Mike có chiến lược thắng.
Cho tam giác $ABC$; $E,F$ lần lượt là chân các đường cao từ $B,C$. Nếu góc $A$ không vuông, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi tâm nội tiếp tam giác $ABC$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.
Đường tròn đơn vị $\Omega$ có ba điểm $X,Y,Z$ trên đường tròn sao cho $XYZ$ là tam giác đều. Gọi $W$ là điểm khác $X$ trong mặt phẳng sao cho $WYZ$ cũng là tam giác đều. Tính diện tích phần nằm trong tam giác $WYZ$ nhưng ở ngoài đường tròn $\Omega$.
Cho $n$ là số nguyên dương lẻ. Một ủy ban có $n$ thành viên đang bầu chủ tịch. Các thành viên ngồi thành vòng tròn, mỗi người bỏ phiếu cho người ngay bên trái hoặc ngay bên phải mình. Nếu một người nhận nhiều phiếu hơn tất cả những người còn lại thì người đó làm chủ tịch; nếu không, một trong những người có số phiếu cao nhất được chọn ngẫu nhiên làm chủ tịch. Hermia và Lysander là hai thành viên, Hermia ngồi bên trái Lysander và Lysander dự định bỏ phiếu cho Hermia. Hãy tìm xác suất Hermia được bầu làm chủ tịch, biết $n-1$ người còn lại bỏ phiếu ngẫu nhiên.
Joe đã viết 5 câu hỏi có độ khó khác nhau cho một bài kiểm tra gồm các câu đánh số từ 1 đến 5. Anh muốn bảo đảm câu $i$ khó hơn câu $j$ mỗi khi $i-j\geq3$. Anh có bao nhiêu cách sắp xếp các câu hỏi?
Cho tam giác $XYZ$ với $\angle XYZ=40^\circ$ và $\angle YZX=60^\circ$. Đường tròn $\Gamma$ tâm $I$ nằm trong tam giác $XYZ$ và tiếp xúc cả ba cạnh. Gọi $A$ là tiếp điểm của $\Gamma$ với $YZ$, và tia $\overrightarrow{XI}$ cắt cạnh $YZ$ tại $B$. Xác định số đo $\angle AIB$.
