MathNet 2011

Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y$,
$$|x+y|+|x+1|+|y+1|\ge2.$$
Với những giá trị $x$ nào tồn tại $y$ sao cho $|x+y|+|x+1|+|y+1|=2$?

Tìm tất cả các số tự nhiên $m,n$ sao cho tổng ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng bằng101.

Có tồn tại số nguyên $n$ sao cho mọi nghiệm của $p(x)=x^4-2011x^2+n$ đều là số nguyên không?

Tìm tất cả số thực $x$ thỏa mãn
$$\log_2(10x)+\log_4(100x)+\log_8(1000x)-2\log_{64}x=9.$$
Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản.

Trong tứ giác lồi $ABCD$, các cạnh $AB$, $BC$, $CD$ bằng nhau và $AC=BD=AD$. Tìm các góc của $ABCD$.

Cho các số thực không âm $x_1,\ldots,x_{100}$ sao cho $x_i+x_{i+1}+x_{i+2}\le1$ với mọi $i=1,\ldots,100$, trong đó $x_{101}=x_1$, $x_{102}=x_2$. Tìm giá trị lớn nhất của $S=\sum_{i=1}^{100}x_ix_{i+2}$.

Nếu $x_1,x_2,x_3$ là các nghiệm của $x^3-ax^2+bx-c=0$, chứng minh
$$(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2=2a^2-6b.$$

Cho đường tròn $\omega$ và hai điểm $A,B$ trên một đường thẳng không cắt $\omega$. Với $X_0\in\omega$, xác định các dãy $X_0,X_1,\ldots$ và $Y_0,Y_1,\ldots$: $Y_n$ là giao điểm thứ hai của $AX_n$ với $\omega$, còn $X_{n+1}$ là giao điểm thứ hai của $BY_n$ với $\omega$. Chứng minh nếu với một số nguyên $k$, có $X_k=X_0$ cho một cách chọn $X_0$, thì $X_k=X_0$ với mọi cách chọn $X_0$.

Tìm mọi đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn: với mọi số nguyên $a$ và mọi số nguyên tố $p$, nếu $P(a)$ chia hết cho $p$ thì $a$ cũng chia hết cho $p$.

Trên phân giác góc $A$ của tam giác $ABC$, lấy $B_1,C_1$ sao cho $BB_1\perp AB$, $CC_1\perp AC$. Gọi $M$ là trung điểm $B_1C_1$. Chứng minh $MB=MC$.

Trong tam giác $ABC$, đường phân giác của góc $\angle BAC$ cắt đoạn $BC$ tại $D$. Tam giác $ADC$ cân tại $D$ và độ dài các đoạn $CD$, $BD$ là $|CD|=36$, $|BD|=64$. Tìm độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Cho $a,b,c,d\gt 0$. Tìm tất cả các giá trị có thể của tổng
$$S=\frac{a}{d+a+b}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}.$$

Hai tam giác đều $ABC,DEF$ có cạnh bằng $1$ được chia thành các tam giác đều bằng nhau như hình. Trong mỗi tam giác nhỏ có một đường tròn nội tiếp. Tỉ số diện tích phần tô màu trong $ABC$ với diện tích phần tô màu trong $DEF$ bằng bao nhiêu?

(A) $\frac9{16}$; (B) $\frac34$; (C) $1$; (D) $\frac43$; (E) $\frac{16}9$.

Với các số thực khác0 $a,b,c$, ta có
$$a=b+2c,\quad a+c=b+d,\quad b=d+c.$$
Đẳng thức nào sau đây chắc chắn đúng?
(A) $d=2c$; (B) $a=3c$; (C) $a=6c$; (D) $a=b+2d$; (E) $b=2a+2d$.

Mười hai quả bóng được đánh số $1,2,3,\ldots,12$. Mỗi bóng được tô đỏ hoặc xanh sao cho:

a. Nếu hai bóng có các số khác nhau $a,b$ đều đỏ và $a+b\lt13$, thì bóng số $a+b$ cũng đỏ.

b. Nếu hai bóng có các số khác nhau $a,b$ đều xanh và $a+b\lt13$, thì bóng số $a+b$ cũng xanh.

Có bao nhiêu cách tô màu?

Chia một lục giác đều thành đúng 8 hình giống hệt nhau.

Cho hai tập số thực $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ và $\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$ có cùng tổng. Chứng minh có thể lập một bảng $m\times n$ sao cho tổng các hàng lần lượt là $a_1,a_2,\ldots,a_m$ và tổng các cột lần lượt là $b_1,b_2,\ldots,b_n$.

Peter có 111 viên bi đỏ và 111 viên bi xanh. Mỗi ngày, chú của Peter cho phép đổi 11 viên đỏ lấy 7 viên xanh hoặc đổi 20 viên xanh lấy 28 viên đỏ.

a. Sau một số lần đổi, Peter có thể tăng tổng số bi thêm 20 không?

b. Peter có thể tăng tổng số bi thêm 33 không?

c. Peter có thể có số bi xanh gấp ba số bi đỏ không?

Tìm mọi đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn: với mọi số nguyên $a$ và mọi số nguyên tố $p$, nếu $P(a)$ chia hết cho $p$ thì $a$ cũng chia hết cho $p$.

Trong tam giác nhọn $ABC$, $H$ là trực tâm và $I_H$ là tâm nội tiếp tam giác $BHC$. Phân giác góc $BAC$ cắt đường vuông góc với $BC$ qua $I_H$ tại $K$. Gọi $F$ là chân đường vuông góc từ $K$ xuống $AB$. Chứng minh
$$2KF+BC=BH+HC.$$
(A. Voidelevich)