MathNet 2011

Có hay không một số nguyên lẻ $n\ge3$ và $n$ số nguyên tố phân biệt $p_1,p_2,\dots,p_n$ sao cho mọi $p_i+p_{i+1}$ ($i=1,2,\dots,n$, với $p_{n+1}=p_1$) đều là số chính phương? Hãy chứng minh kết luận. (Đề của Tao Pingsheng)

Một đường thẳng đi qua tâm ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$; gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $BN,CM$. Chứng minh $\angle EOF=\angle A$. (Đề xuất bởi Tao Pingsheng)

Mỗi hai trong $n$ thành phố của một quốc gia được nối bởi một đường một chiều hoặc hai chiều. Biết rằng với mọi $k$ thành phố, có một hành trình khép kín đi qua mỗi thành phố trong số đó đúng một lần. Tìm số đường một chiều lớn nhất có thể.

Tìm tất cả $a$ sao cho tồn tại duy nhất $(x,y)\in\mathbb R^2$ thỏa mãn
$$2^{|x|}+|x|=x^2+y+a,\qquad x^2+y^2=1.$$

Cho $a_1,a_2,\dots$ là một hoán vị của mọi số nguyên dương. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương $i$ sao cho $(a_i,a_{i+1})\le\frac34i$. (Đề của Chen Yonggao)

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2\lt bc$. Chứng minh rằng
$$b^3+ac^2\gt ab(a+c).$$

Cho đồ thị đơn $G$ có $3n^2$ đỉnh, với số nguyên $n\ge2$. Bậc mỗi đỉnh không quá $4n$, có ít nhất một đỉnh bậc 1, và giữa hai đỉnh bất kỳ có một đường đi độ dài không quá 3. Chứng minh số cạnh nhỏ nhất của $G$ bằng $\frac72n^2-\frac32n$.
Chú thích. Một đường đi độ dài $k$ giữa hai đỉnh phân biệt $u,v$ là dãy $u=v_0,v_1,\dots,v_k=v$, trong đó $v_i,v_{i+1}$ kề nhau với $i=0,1,\dots,k-1$. (Đề của Leng Gangsong)

Cho số nguyên $n\ge3$. Cần đánh dấu ít nhất bao nhiêu điểm bên trong một đa giác lồi $n$ đỉnh để phần trong của mỗi tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều chứa ít nhất một điểm đã đánh dấu?

Gọi dãy điểm $(A_0,A_1,\dots,A_n)$ là thú vị nếu hoành độ và tung độ của mỗi $A_i$ bằng nhau, hệ số góc của các đoạn $OA_0,OA_1,\dots,OA_n$ tăng nghiêm ngặt ($O$ là gốc tọa độ), và diện tích mỗi tam giác $OA_iA_{i+1}$ ($0\le i\le n-1$) bằng $\frac12$.
Với một dãy điểm, chèn một điểm $A$ giữa hai điểm kề $A_i,A_{i+1}$ sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_{i+1}}$. Khi đó gọi dãy mới $(A_0,\dots,A_i,A,A_{i+1},\dots,A_n)$ là một phép mở rộng của dãy cũ.
Cho hai dãy thú vị bất kỳ $(A_0,\dots,A_n)$ và $(B_0,\dots,B_m)$. Chứng minh nếu $A_0=B_0$ và $A_n=B_m$ thì có thể mở rộng cả hai thành cùng một dãy $(C_0,\dots,C_k)$.
(Đề của Qu Zhenhua)

Cho số nguyên $n\ge2$.
(1) Chứng minh có thể sắp tất cả các tập con của $\{1,2,\dots,n\}$ thành dãy $A_1,A_2,\dots,A_{2^n}$ sao cho $|A_{i+1}|=|A_i|+1$ hoặc $|A_i|-1$, với $i=1,2,\dots,2^n$ và $A_{2^n+1}=A_1$.
(2) Tìm và chứng minh mọi giá trị có thể của $\sum_{i=1}^{2^n}(-1)^iS(A_i)$, trong đó $S(A_i)=\sum_{x\in A_i}x$ và $S(\emptyset)=0$, đối với mọi dãy thỏa mãn (1). (Đề của Liang Yingde)

Giả sử $f(x)=|\lg(x+1)|$ và các số thực $a,b$ ($a\lt b$) thỏa mãn $f(a)=f\left(-\frac{b+1}{b+2}\right)$, $f(10a+6b+21)=4\lg2$. Tìm $a,b$.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m,n$ cho trước, tồn tại vô số cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a,b$ sao cho $am^a+bn^b$ chia hết cho $a+b$.

Cho tập $M=\{1,2,3,\ldots,50\}$. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho trong bất kỳ tập con có $35$ phần tử của $M$ luôn có ít nhất hai phần tử khác nhau $a,b$ thỏa mãn $a+b=n$ hoặc $a-b=n$. (Đề xuất bởi Li Shenghong)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $n\mid2m-1$ và $m\mid2n-1$.

Cho số thực $\alpha$. Tìm số thực nhỏ nhất $\lambda=\lambda(\alpha)$ sao cho với mọi số phức $z_1,z_2$ và số thực $x\in[0,1]$, nếu $|z_1|\le\alpha|z_1-z_2|$ thì $|z_1-xz_2|\le\lambda|z_1-z_2|$. (Người ra đề: Li Shenghong)

Nếu
$$\frac{x_1}{x_1+1}=\frac{x_2}{x_2+3}=\frac{x_3}{x_3+5}=\dots=\frac{x_{1006}}{x_{1006}+2011},$$
$$x_1+x_2+\dots+x_{1006}=503^2,$$
hãy xác định $x_{1006}$.

Cho $a,b,c$ là các số thực với $a\ne0$. Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình
$$a\sin x+b\cos x+c=0,$$
$$a\operatorname{tgg}y+b\operatorname{ctg}y+2c=0$$
có nghiệm thực.

Nếu $\min_{x\in\mathbb R}\dfrac{ax^2+b}{\sqrt{x^2+1}}=3$, hãy tìm
(1) miền giá trị của $b$;

Tam giác cân $ABC$ ($AC=BC$) nội tiếp đường tròn $k$. Điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$. Điểm $N$ trên tia $AM$ ($M$ nằm giữa $A,N$) thỏa mãn $AN=AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCN$ cắt $k$ tại $C,P$, trong đó $P$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$. Hai đường thẳng $AB,CP$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $\angle QMB=\angle QMN$.

Cho số nguyên dương $a$. Ký hiệu $\tau(a)$ là số ước nguyên dương của $a$, và $\varphi(a)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $a$ và nguyên tố cùng nhau với $a$. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ có đúng hai ước nguyên tố và thỏa mãn $\varphi(\tau(n))=\tau(\varphi(n))$.