Trong một nhóm 451 người, mỗi cặp người có đúng một người quen chung (quan hệ quen biết là hai chiều). Gọi $n$ là hiệu giữa số người quen của một thành viên quen nhiều người nhất và số người quen của một thành viên quen ít người nhất. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$ và tất cả các giá trị khác có thể có của $n$.
Chứng minh rằng nếu $n,k$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1\lt k\lt n-1$ thì hệ số nhị thức $\binom nk$ chia hết cho ít nhất hai số nguyên tố khác nhau.
Dãy $x_1,x_2,\ldots$ được xác định bởi $x_1=1$, $x_{2k}=-x_k$ và $x_{2k-1}=(-1)^{k+1}x_k$ với mọi $k\ge1$. Chứng minh rằng với mọi $n\ge1$,
$$x_1+x_2+\ldots+x_n\ge0.$$
Có bao nhiêu cách tô các đỉnh của đa giác $2n$ đỉnh bằng ba màu sao cho không đỉnh nào cùng màu với một trong hai đỉnh kề nó hoặc với đỉnh đối diện nó?
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét các điểm $A_1(40,1),A_2(40,2),\ldots,A_{40}(40,40)$ cùng các đoạn $OA_1,OA_2,\ldots,OA_{40}$. Một điểm được gọi là “tốt” nếu có tọa độ nguyên và nằm trong phần trong của một đoạn $OA_i$, với $i=1,2,\ldots,40$. Một đoạn trong các đoạn đó cũng được gọi là “tốt” nếu chứa ít nhất một điểm “tốt”. Xác định số điểm “tốt” và số đoạn “tốt”.
Xét các số nguyên dương có bốn chữ số $x=\overline{\alpha\beta\gamma\delta}$, trong đó các chữ số khác $0$ và đôi một khác nhau. Đặt $y=\overline{\delta\gamma\beta\alpha}$ và giả sử $x\gt y$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hiệu $x-y$, cùng các số có bốn chữ số tương ứng đạt được các giá trị đó.
Cho tam giác $ABC$ với $AB\lt AC$. Đường trung trực của cạnh $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $D$, và đường phân giác trong của góc $ADB$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $E$. Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $AEB$ vuông góc với đường thẳng nối tâm nội tiếp của hai tam giác $ADE$ và $BDE$.
Một hình vuông cạnh $\ell$ nằm trong một hình vuông đơn vị, và tâm của hình vuông đơn vị không nằm trong phần trong của hình vuông nhỏ. Chứng minh rằng $\ell\le1/2$.
Tìm một số thực $t$ sao cho với mọi tập gồm $120$ điểm $P_1,\ldots,P_{120}$ trên biên của một hình vuông đơn vị, tồn tại điểm $Q$ trên biên ấy thỏa mãn
$$|P_1Q|+\cdots+|P_{120}Q|=t.$$
Cho $n$ là số nguyên dương và $W=\ldots x_{-1}x_0x_1x_2\ldots$ là một từ tuần hoàn vô hạn gồm các chữ cái $a,b$. Giả sử chu kỳ nhỏ nhất $N$ của $W$ lớn hơn $2^n$.
Một từ hữu hạn không rỗng $U$ được gọi là xuất hiện trong $W$ nếu tồn tại các chỉ số $k\le\ell$ sao cho $U=x_kx_{k+1}\ldots x_\ell$. Một từ hữu hạn $U$ được gọi là phổ biến nếu cả bốn từ $Ua,Ub,aU,bU$ đều xuất hiện trong $W$. Chứng minh rằng có ít nhất $n$ từ hữu hạn không rỗng phổ biến.
Mỗi ô của bảng $3\times10$ được tô đen hoặc trắng. Gọi $N$ là số cách tô sao cho không có năm ô tạo thành hình chữ X (như các ô đen trong hình dưới) cùng trắng hoặc cùng đen. Xác định $\sqrt N$.
Hai đường tròn cắt nhau $\Gamma_1,\Gamma_2$ có tâm lần lượt $O_1,O_2$, và $\Gamma_2$ cắt đoạn $O_1O_2$ tại $A$. Hai giao điểm của các đường tròn là $C,D$. Đường thẳng $AD$ cắt $\Gamma_1$ lần thứ hai tại $S$. Đường thẳng $CS$ cắt $O_1O_2$ tại $F$. Gọi $\Gamma_3$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADF$, và $E$ là giao điểm thứ hai của $\Gamma_1$ với $\Gamma_3$. Chứng minh $O_1E$ tiếp xúc với $\Gamma_3$.
In-Young tạo một xâu gồm $B$ chữ số không và một theo cách sau:
- Trước tiên, cô tung một đồng xu cân đối. Nếu được mặt ngửa, chữ số đầu tiên là $0$; nếu được mặt sấp, chữ số đầu tiên là $1$.
- Với mỗi chữ số tiếp theo, cô tung một đồng xu không cân đối, có xác suất ra mặt ngửa là $A$. Nếu được mặt ngửa, cô ghi chữ số khác với chữ số trước đó; nếu được mặt sấp, cô ghi lại chữ số trước đó.
Kỳ vọng số chữ số không trong xâu của cô là bao nhiêu?
Cho $I$ là tâm nội tiếp và $AD$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Nếu điểm $E$ trên tia $BA$ và điểm $F$ trên tia $CA$ thỏa mãn
$$BE=CF=\frac{AB+BC+CA}{2},$$
chứng minh rằng $EF$ và $DI$ vuông góc.
Cho số tự nhiên $n$. Trong một chuồng có $n$ con khỉ và $n$ cột leo. Để khỉ vận động, mỗi lần cho ăn, người chăm sóc đặt một quả chuối ở đỉnh mỗi cột. Ngoài ra, họ nối các cột bằng một số hữu hạn dây thừng, sao cho hai đầu dây khác nhau được buộc tại hai điểm khác nhau. Khi một con khỉ leo lên cột và gặp đầu dây, nó không cưỡng lại được việc đu theo dây sang đầu kia rồi mới tiếp tục leo lên. Mỗi con khỉ xuất phát ở một cột khác nhau. Chứng minh rằng mỗi con khỉ đều nhận được một quả chuối.
Trong tam giác nhọn không cân $ABC$, các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên $BC,CA,AB$ sao cho $AD\perp BC$, $BE\perp CA$, $CF\perp AB$. Ba đường cao cắt nhau tại trực tâm $H$. Các điểm $P,Q$ nằm trên đoạn $EF$ sao cho $AP\perp EF$, $HQ\perp EF$. Hai đường thẳng $DP$, $QH$ cắt nhau tại $R$. Tính $HQ/HR$.
Cho điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ và khác hai đỉnh. Gọi $I,I_1,I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC,ABD,ADC$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp $AI_1I$ và $ADI_2$; gọi $F$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp $AII_2$ và $AI_1D$. Chứng minh rằng nếu $AI_1=AI_2$ thì
$$\frac{EI}{FI}\cdot\frac{ED}{FD}=\frac{EI_1^2}{FI_2^2}.$$
