MathNet 2011

Hai số nguyên dương $d,d'$ với $d'\gt d$ là các ước của số nguyên dương $n$. Chứng minh $d'\gt d+d^2/n$.

Cho $f = a X^{2} + b X + c \in \mathbb{Z}[X]$ là đa thức sao cho với mọi số nguyên dương $n$, $f(n)$ là số chính phương. Chứng minh rằng $f = g^{2}$ với một đa thức $g \in \mathbb{Z}[X]$.

Cho $x,y$ là các số nguyên dương khác nhau. Chứng minh số
$$\frac{(x+y)^2}{x^3+xy^2-x^2y-y^3}$$
không phải số nguyên.

Viện Hàn lâm Khoa học có 999 viện sĩ. Mỗi chủ đề khoa học được đúng ba viện sĩ quan tâm; với mỗi cặp viện sĩ có đúng một chủ đề cả hai cùng quan tâm. Chứng minh chọn được 250 chủ đề sao cho mỗi viện sĩ quan tâm nhiều nhất một chủ đề đã chọn. (A. Magazinov)

Cho tam giác $ABC$ với $AB\ne AC$. Đường tròn nội tiếp có tâm $I$ và tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\mathcal C$ của tam giác $ABC$ tại $M$, và $DM$ cắt lại $\mathcal C$ tại $P$. Chứng minh $\widehat{API}=90^\circ$.

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$. Lấy $K$ trên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật. Đường thẳng $CK$ cắt đoạn $AD$ tại $M$ sao cho $AM:MD=2$. Chứng minh trọng tâm tam giác $OKD$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$. (V. Shmarov)

Xét tam giác $ABC$. Gọi $A_{1}$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $BC$, $B_{1}$ là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $CA$, và $C_{1}$ là điểm đối xứng của $C$ qua đường thẳng $AB$. Xác định các bộ góc có thể có của tam giác $ABC$ để $A_{1}B_{1}C_{1}$ là tam giác đều.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Một đường tròn qua $B,O$ cắt lại các cạnh $BC,BA$ lần lượt tại $P\ne B,Q\ne B$. Chứng minh trực tâm tam giác $POQ$ nằm trên đường thẳng $AC$. (T. Emelyanova, L. Emelyanov)

Một số ô của bảng $100\times100$ có đặt một quân cờ. Gọi một ô là đẹp nếu tổng số quân trong các ô kề cạnh với nó là chẵn. Có thể có đúng một ô đẹp không? (K. Knop)

Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$. Tiếp tuyến tại $B,C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ lần lượt ở $K,L$. Qua $K$ kẻ đường $k\parallel AB$; qua $L$ kẻ đường $\ell\parallel AC$. Gọi $P=k\cap\ell$. Chứng minh $BP=CP$. (P. Kozhevnikov)

2011 kho được nối bằng một hệ thống đường liên thông. Kho thứ $i$ có $x_i$ kg xi măng. Mỗi chuyến được chuyển lượng xi măng tùy ý từ một kho đến một kho nối trực tiếp với nó. Cần đạt $y_i$ kg ở kho thứ $i$, biết $\sum x_i=\sum y_i$. Tìm số nhỏ nhất $N$ sao cho luôn thực hiện được trong $N$ chuyến, với mọi lượng xi măng và mọi hệ thống đường hợp lệ.

Các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự này. Vẽ các đường thẳng song song $a$ và $b$ lần lượt qua $A$ và $B$, và các đường thẳng song song $c$ và $d$ lần lượt qua $C$ và $D$, sao cho các giao điểm của chúng là các đỉnh của một hình vuông. Chứng minh rằng độ dài cạnh hình vuông này không phụ thuộc độ dài đoạn $B C$.

Tìm tất cả các số nguyên $n\ge2$ sao cho $1!,2!,\ldots,(n-1)!$ cho các số dư khác nhau khi chia cho $n$.

Trên bàn có một đống nhiều hơn $n^2$ viên đá. Pete và Basil luân phiên lấy đá, Pete đi trước. Mỗi lượt được lấy $k$ viên nếu $k=1$, hoặc $k$ là số nguyên tố nhỏ hơn $n$, hoặc $k$ chia hết cho $n$. Người lấy viên cuối thắng. Chứng minh Pete có chiến lược thắng. (S. Berlov)

Trên bảng có $2011$ số thực. Với ba số bất kỳ đã ghi $a,b,c$, tổng $a+b+c$ cũng là một số đã ghi. Tìm số lượng số không nhỏ nhất có thể trên bảng.

Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm tất cả các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ sao cho
$$\prod_{k=1}^n\left(x_k^2+(k+2)x_k+k^2+k+1\right)=\left(\frac34\right)^n(n!)^2.$$

Trong tam giác $A B C$, gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm của đoạn $A H$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $O M$ cắt các đường thẳng $A B$ và $A C$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $M P = M Q$.

Tìm tất cả các đa thức $P$ có hệ số thực sao cho với mọi $x,y,z\in\mathbb R$,
$$P(x)+P(y)+P(z)+P(x+y+z)=P(x+y)+P(y+z)+P(z+x).$$

Cho $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$ và $|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|=1$.
Chứng minh
$$|a_1+2a_2+\cdots+na_n|\le\frac{n-1}2.$$

Một căn cứ quân sự có hình tam giác đều cạnh $10$ kilômét. Các hạn chế an ninh khiến liên lạc bằng điện thoại di động chỉ thực hiện được trong phạm vi $2{,}5$ kilômét. Mỗi người trong $17$ người lính tuần tra ngẫu nhiên trong căn cứ và cố liên lạc với tất cả những người khác. Chứng minh tại mọi thời điểm có ít nhất hai người lính liên lạc được với nhau.