MathNet 2011

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại tập $S\subset\mathbb C$ có $n$ phần tử thỏa mãn:

i) mọi phần tử của $S$ có môđun $1$;

ii) $\sum_{z\in S}z=0$;

iii) $z+w\ne0$ với mọi $z,w\in S$.

Trong tam giác $ABC$, phân giác góc $CAB$ cắt $BC$ tại $D$, phân giác góc $ABC$ cắt $AC$ tại $E$. Nếu $\angle ACB\ge60^\circ$, chứng minh $AE+BD\le AB$.

Hiệu các giá trị nghịch đảo của hai số nguyên dương liên tiếp là $0.0\dot a=0.0aaa\ldots$. Tìm mọi giá trị có thể của chữ số $a$.

Cho đường tròn có đường kính $MN$, dây $AB$ song song với $MN$. Tiếp tuyến tại $M$ cắt các đường thẳng $NA,NB$ lần lượt tại $C,D$. Chứng minh $MC\cdot MD=MN^2$.

Tìm mọi cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $m^2n/(m^2+n)$ là số nguyên tố.

Một dãy số thực dương có ít nhất 5 giá trị khác nhau. Với hai số hạng bất kỳ, luôn tìm được hai số hạng khác có cùng tích. Dãy có ít nhất bao nhiêu số hạng?

Tìm tất cả $a\in\mathbb R$ sao cho với mọi $x\in\mathbb R$,
$$\frac{x}{x^2+2x+3}\gt\frac{x+a}{1+x+x^2}.$$

Cho tập hữu hạn $A$ gồm các số thực dương. Đặt $B=\{x/y:x,y\in A\}$ và $C=\{xy:x,y\in A\}$. Ký hiệu số phần tử của tập $X$ là $|X|$. Chứng minh $|A|\,|B|\le|C|^2$.

Tìm mọi số nguyên $a$ sao cho $\log_2(1+a+a^2+a^3)$ cũng là số nguyên.

Một giải bóng đá có $57$ đội thi đấu theo các quy tắc: a. Không trận nào kết thúc hòa. b. Đội thua hai trận bị loại. c. Giải kết thúc khi chỉ còn một đội, là đội vô địch. Nếu đội vô địch thua một trận, có bao nhiêu trận được thi đấu trong giải?

Biết $\log_a x=3$ và $\log_{ab}x=2$. Tính $\log_bx$.

Cho chín số nguyên dương, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn $6$. Chứng minh tồn tại hai số trong đó có tích là số chính phương.

Đường phân giác của một góc nhọn trong tam giác vuông chia cạnh góc vuông đối diện thành hai đoạn dài $4$ và $5$. Tính diện tích tam giác.

Cho $a,b\gt 1$ là các số thực sao cho $\log_b a$, $\log_{2b}(2a)$ và $\log_{4b}(4a)$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh $a=b$. (Tonći Kokan)

Cho các số nguyên $n\ge3$, $k\ge1$. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_n$ thỏa mãn $1/a_1^k+1/a_2^k+\cdots+1/a_n^k=1$.

Điền vào mỗi ô của bảng $4\times4$ một chữ cái trong $A,B,C,D$ và một số trong $1,2,3,4$, sao cho mỗi hàng và mỗi cột chứa đủ bốn chữ cái và đủ bốn số, đồng thời mỗi cặp chữ–số xuất hiện đúng một lần.

Cho $a_0=1$, $a_1=3$ và $a_{n+2}=1+\left\lfloor a_{n+1}^2/a_n\right\rfloor$ với mọi $n\ge0$. Chứng minh rằng $a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=2^n$ với mọi số nguyên $n$.

Trong một giải bóng chuyền, hai đội bất kỳ trong $n$ đội gặp nhau đúng một lần. Với hai đội phân biệt $A,B$ bất kỳ, có đúng $k$ đội thua cả hai đội ấy. Chứng minh $n=4k+3$.

Một tứ diện đều $ABXY$ nằm trong hình lập phương đơn vị $ABCD'A'B'C'D'$ sao cho $X$ thuộc mặt phẳng $ABCD$. Tính khoảng cách giữa $Y$ và $A'$.

Tìm mọi hàm $f:[-\frac\pi2;\frac\pi2]\to\mathbb R$ sao cho:

a) $f$ khả vi trên $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$;

b) tồn tại một nguyên hàm $F$ của $f$ thỏa mãn $F(x)+f'(x)\le0$ với mọi $x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ và $F(-\frac\pi2)=F(\frac\pi2)=0$.