Cho tam giác $ABC$, điểm $P$ trên đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Qua $P$ vẽ đường thẳng $l$ song song $AB$. Gọi $k$ là đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc $l$ tại $P$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của $k$ với đường thẳng $AB$ (nếu không có giao điểm thứ hai, đặt $Q=B$). Chứng minh $AQ=AC$.
Dãy *Somanacci* được tạo bởi ba số hạng đầu, mỗi số là một số nguyên dương nhỏ hơn $2012$. Từ số hạng thứ tư, mỗi số hạng bằng tổng tất cả các số đứng trước. Có bao nhiêu dãy Somanacci khác nhau chứa $2012$ như một số hạng?
Một tờ giấy hình chữ nhật $20\,\mathrm{cm}$ nhân $30\,\mathrm{cm}$ được cắt theo các đường nét đứt $AC,BD$ thành bốn mảnh: hai tam giác bằng nhau và hai đa giác năm cạnh bằng nhau, như Hình I. Các đoạn $AC,BD$ dài bằng nhau và gặp nhau tại tâm hình chữ nhật theo góc vuông.
a) Độ dài $AB$ bằng bao nhiêu?
b) Diện tích một mảnh tam giác bằng bao nhiêu? Một mảnh năm cạnh bằng bao nhiêu?
c) Ghép lại bốn mảnh tạo thành hình vuông có lỗ hình chữ nhật như Hình II. Diện tích lỗ bằng bao nhiêu?
André, Bianca, Carlos và Dalva muốn rút thăm một cuốn sách. Họ đặt 3 bóng trắng, 1 bóng đen vào hộp và thống nhất mỗi người lấy một quả, không hoàn lại, theo thứ tự chữ cái của tên. Ai lấy bóng đen sẽ thắng.
a) Xác suất André thắng là bao nhiêu?
b) Xác suất Dalva thắng là bao nhiêu?
Để rút thăm cuốn khác, André đề nghị dùng 2 bóng đen, 6 bóng trắng. Như trước, người đầu tiên lấy bóng đen sẽ thắng. Nếu bốn quả đầu đều trắng, họ tiếp tục lấy theo cùng thứ tự.
c) Trong lần rút thăm mới, xác suất André thắng là bao nhiêu?
Trò chơi Arrasta Um dùng một bàn ô vuông và các quân tròn, một quân đen còn lại trắng. Đặt mỗi ô một quân, trừ một ô để trống. Mỗi nước đi trượt một quân từ ô kề vào ô trống. Trò chơi kết thúc khi quân đen đến góc trên bên phải. Sau đây là ví dụ kết thúc bàn $2\times2$ trong bốn nước.
Vị trí ban đầu
Dãy nước đi được mô tả bằng $(\uparrow,\leftarrow,\downarrow,\rightarrow)$.
a) Mô tả cách kết thúc trong sáu nước trên bàn $3\times3$ sau.
b) Mô tả cách kết thúc trong mười nước trên bàn $3\times3$ sau.
c) Chứng minh trên bàn $n\times n$ như hình, có thể kết thúc trong $6n-8$ nước.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên $x_1,x_2,\ldots,x_n$ (không nhất thiết phân biệt), với $1\le x_k\le n$, $1\le k\le n$, thỏa mãn
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=\frac{n(n+1)}2,$$
$$x_1x_2\cdots x_n=n!,$$
nhưng $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\ne\{1,2,\ldots,n\}$.
Một máy tính kỳ lạ chỉ có các phím số $0$ đến $9$ và hai phím đặc biệt $A,B$. Phím $A$ bình phương số đang hiện; phím $B$ cộng thêm $3$. Có thể từ $1$ nhận được $22$ bằng cách bấm $BABB$:
$$1\xrightarrow B4\xrightarrow A16\xrightarrow B19\xrightarrow B22.$$
a) Bắt đầu với $3$, sau khi bấm $BBAB$ sẽ hiện số nào?
b) Chỉ cách từ $1$ nhận được $55$ bằng $A,B$.
c) Giải thích vì sao không thể từ $2$ nhận được $54$ bằng $A,B$.
Gọi $\mathbb R^\star$ là tập tất cả các số thực trừ $1$. Tìm mọi hàm $f:\mathbb R^\star\to\mathbb R$ thỏa mãn phương trình hàm
$$x+f(x)+2f\left(\frac{x+2009}{x-1}\right)=2010.$$
Bản tiếng Anh của nguồn: Có 30 người, mỗi người là một Hiệp sĩ hoặc một Kẻ nói dối, ngồi quanh bàn tại các chỗ được đánh số $1,2,\ldots,30$ theo thứ tự liên tiếp. Hiệp sĩ luôn nói thật, Kẻ nói dối luôn nói dối. Mỗi người có đúng một người bạn trong số những người khác. Bạn của một Hiệp sĩ là một Kẻ nói dối và bạn của một Kẻ nói dối là một Hiệp sĩ. Mỗi người được hỏi: “Có đúng là bạn của bạn ngồi cạnh bạn không?” Mười lăm người ngồi ở chỗ số lẻ trả lời “Có”. Tìm số người ngồi ở chỗ số chẵn cũng trả lời “Có”. (S. Agakhanov)
Bản tiếng Nga của nguồn: Có 30 người gồm Hiệp sĩ và Kẻ nói dối ngồi quanh bàn tròn (Hiệp sĩ luôn nói thật, Kẻ nói dối luôn nói dối). Mỗi người có đúng một người bạn ở cùng bàn; bạn của Hiệp sĩ là Kẻ nói dối và ngược lại (tình bạn luôn hai chiều). Với câu hỏi “Bạn của bạn có ngồi cạnh bạn không?”, những người ngồi cách một chỗ trả lời “Có”. Có thể có bao nhiêu người còn lại cũng trả lời “Có”? Hãy liệt kê mọi khả năng và chứng minh không có khả năng khác. (S. Agakhanov)
Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2=2c^2$, đồng thời $a\ne b$, $c\ne-a$, $c\ne-b$. Chứng minh rằng
$$\frac{(a+b+2c)(2a^2-b^2-c^2)}{(a-b)(a+c)(b+c)}$$
là số nguyên.
Gọi một số là “ghép thành bình phương” nếu cộng nó với số nhận được bằng cách đảo thứ tự các chữ số thì được một số chính phương. Ví dụ, $164$ và $461$ là các số như vậy vì $164+461=625=25^2$. Có bao nhiêu số ghép thành bình phương từ $10$ đến $100$?
Juliana muốn gán cho mỗi chữ trong 26 chữ cái $A,B,C,D,\ldots,W,X,Y,Z$ một giá trị số khác không, sao cho $A\times C=B$, $B\times D=C$, $C\times E=D$, và cứ thế đến $X\times Z=Y$.
a) Nếu cô gán $A=5$, $B=7$ thì $C,D,E$ bằng bao nhiêu?
b) Chứng minh $G=A$ với bất kỳ các giá trị cô gán cho $A,B$.
c) Nếu các giá trị thỏa mãn $A\times B=2010$, tích $A\times B\times C\times D\times\cdots\times W\times X\times Y\times Z$ bằng bao nhiêu?
Có tồn tại các số nguyên dương $n,a_1,a_2,\ldots,a_{2012}$ đều lớn hơn 1 sao cho
$$n^2=a_1^2+a_2^3+a_3^5+\cdots+a_i^{p_i}+\cdots+a_{2012}^{p_{2012}},$$
trong đó $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$, hay không?
a) Tính các góc trong của đa giác.
b) Điểm $M$ là giao điểm của $AE$ và $DK$. Tính $\angle MDE$ và $\angle DME$.
c) Tính $\angle CBM$.
d) Chứng minh $B,M,F$ thẳng hàng.
