MathNet 2012

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn
$$x\cdot y!+2y\cdot x!=z!.$$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho
$$\frac1{x^2}+\frac{249}{xy}+\frac1{y^2}=\frac1{2012}.$$

Một khóa số mở ngay khi nhập đúng tổ hợp duy nhất gồm bốn chữ số; các chữ số có thể lặp lại. Chẳng hạn, nhập dãy 000125 sẽ mở khóa nếu mã là 0001, 0012 hoặc 0125. Cậu bé Pierre không biết mã. Ít nhất cậu phải nhập bao nhiêu chữ số để chắc chắn mở được khóa?

Tam giác $ABC$ có $AB=5$, $BC=3\sqrt2$ và $AC=1$. Đường cao từ $B$ xuống $AC$ và đường phân giác góc $A$ cắt nhau tại $D$. Tính $BD$.

a) Chứng minh rằng với mọi số thực $x$, trung bình cộng của $\sqrt{1+\sin x}$ và $\sqrt{1-\sin x}$ bằng một trong các số sau: $\sin\frac x2$, $\cos\frac x2$, $-\sin\frac x2$, $-\cos\frac x2$.

b) Có thể bỏ đi một trong bốn số ở phần a) mà khẳng định vẫn đúng hay không?

Cho tam giác $ABC$ có $|AB|=|AC|$. Các điểm $P,Q$ khác các đỉnh và lần lượt nằm trên các cạnh $AB,AC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $|AP|=|CQ|$.

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn
$$x+y+z\ge\frac1x+\frac1y+\frac1z.$$
Chứng minh
$$\frac xy+\frac yz+\frac zx\ge\frac1{xy}+\frac1{yz}+\frac1{zx}.$$

Hai đường tròn $c$ và $c'$ có tâm lần lượt là $O$ và $O'$ nằm hoàn toàn bên ngoài nhau. Các điểm $A,B,C$ thuộc $c$ và $A',B',C'$ thuộc $c'$ sao cho $AB\parallel A'B'$, $BC\parallel B'C'$ và $\angle ABC=\angle A'B'C'$. Ba đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đôi một khác nhau và đồng quy tại $P$, với $P$ không trùng bất kỳ đỉnh nào của hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$. Chứng minh rằng $\angle AOB=\angle A'O'B'$.


Hình 1

Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $2012$ mà mọi ước của nó đều có nhiều nhất hai chữ số $1$ trong biểu diễn nhị phân.

Với những số nguyên dương $n$ nào tồn tại các hàm $f,g:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ sao cho với mỗi $1\le i\le n$, một trong hai đẳng thức $f(g(i))=i$ hoặc $g(f(i))=i$ đúng, nhưng không đồng thời cả hai?

Cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_5$ thỏa mãn
$$\begin{aligned}
|x_2-x_1|&=2|x_3-x_2|=3|x_4-x_3|\\
&=4|x_5-x_4|=5|x_1-x_5|.
\end{aligned}$$
Chứng minh rằng năm số thực này bằng nhau.

Cho các số thực dương $x,y,z$ có tổng bằng $2012$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4}.$$

Một tam giác đều cạnh $3$ được chia thành $9$ tam giác đều cạnh $1$. Tại mỗi điểm là đỉnh của một tam giác nhỏ (các đỉnh được tô màu trong hình), viết một số nguyên từ $1$ đến $10$, sao cho mỗi số xuất hiện đúng một lần. Với mỗi tam giác nhỏ, viết vào bên trong tổng ba số ở các đỉnh của nó. Chứng minh rằng có ba tam giác nhỏ mà tổng các số bên trong chúng ít nhất là $48$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $\underbrace{2^{2^{2\cdots}}}_{n}\gt 3^{3^{3^{3}}}$. (Ký hiệu $\underbrace{2^{2^{2\cdots}}}_{n}$ chỉ một tháp lũy thừa có $n$ số $2$. Chẳng hạn, $\underbrace{2^{2^{2^{2}}}}_{n=4}$ bằng $2^{2^{2^{2}}}$.)

Xác định tất cả các đa thức không hằng có hệ số nguyên
$$X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_{n-1}X+a_n,$$
mà các nghiệm chính là các số $a_1,\ldots,a_{n-1},a_n$, tính cả bội số.

Có thể có một tam giác với độ dài các cạnh là số nguyên mà chu vi chia hết cho hai lần độ dài cạnh lớn nhất không?

Bảy phần mười diện tích bề mặt Trái Đất được đại dương bao phủ. Chứng minh rằng tồn tại một đường kính của Trái Đất có cả hai đầu mút nằm trong đại dương.

Cho hàm số $f$ xác định bởi
$$f(x)=\begin{cases}2x&\text{nếu }x\le\frac12,\\2-2x&\text{nếu }x\gt\frac12.\end{cases}$$
Tính tổng độ dài đồ thị của $\underbrace{f(f(\ldots f}_{2012\ \text{lần }f}(x)\ldots))$ từ $x=0$ đến $x=1$.

Chọn ngẫu nhiên một hoán vị $\pi$ của các số từ $1$ đến $2012$. Tìm xác suất để $\pi(\pi(2012))=2012$.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ và mọi bộ số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n\gt0$,
$$\sum_{k=1}^n\frac{k}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots+a_k^{-1}}\le2\sum_{k=1}^n a_k.$$
Có thể thay số “2” ngay bên phải dấu bất đẳng thức bằng một số dương nhỏ hơn hay không?