MathNet 2012

Hai đội ngang sức thi đấu một loạt trận, kết thúc ngay khi một đội thắng bốn trận. Loạt đấu có khả năng kết thúc sau đúng sáu trận hay sau đúng bảy trận cao hơn?

Chứng minh rằng tồn tại một dãy hữu hạn các số nguyên dương phân biệt $n_1,n_2,\dots,n_k$ sao cho
$$2012\lt \sum_{i=1}^k\frac1{n_i}\lt 2012+\left(\frac1{2012}\right)^{2012}.$$

Một trường có $n$ học sinh và tổ chức một số lớp học thêm; mỗi học sinh có thể tham gia bao nhiêu lớp tùy ý. Mỗi lớp có ít nhất hai học sinh. Nếu hai lớp khác nhau có hai học sinh chung thì sĩ số của chúng khác nhau. Chứng minh tổng số lớp không lớn hơn $(n-1)^2$.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tại mỗi đỉnh của một đa giác đều $p$ cạnh ghi một số nguyên. Với mỗi đỉnh, tính hiệu giữa tổng các số ghi tại hai đỉnh kề và số ghi tại đỉnh đó. Sau đó xóa toàn bộ các số ban đầu và thay bằng các số vừa tính. Chứng minh rằng sau $p$ bước như vậy, các số thu được đồng dư modulo $p$ với các số ban đầu tại các đỉnh tương ứng.

Cho số nguyên dương $n\ge3$. Trên một đường tròn có $n$ vị trí đánh số $1,2,\dots,n$ theo chiều kim đồng hồ. Đặt $n$ quân, mỗi quân có một mặt trắng và một mặt đen, sao cho mỗi vị trí có một quân. Ban đầu mọi quân ngửa mặt trắng, trừ quân ở vị trí $1$ ngửa mặt đen. Ta được thực hiện thao tác:
(i) Chọn quân $X$ ngửa mặt đen; gọi $Y,Z$ là hai quân tiếp theo theo chiều kim đồng hồ.
(ii) Lật quân $Y$ sang màu kia.
(iii) Chuyển $X$ hai vị trí theo chiều kim đồng hồ và chuyển $Y,Z$ một vị trí ngược chiều kim đồng hồ. (Sau thao tác vẫn có một quân ở mỗi vị trí.)
Cho $S$ là tập con khác rỗng bất kỳ của $\{1,2,\dots,n\}$. Chứng minh có thể thực hiện hữu hạn thao tác để các vị trí quân đen chính xác là các số thuộc $S$.

Một tập con của $\{1,2,3,\dots,30\}$ được gọi là *ngon* nếu không chứa các phần tử $a,b$ thỏa mãn $a=3b$. Một tập con ngon được gọi là *siêu ngon* nếu nó là tập ngon và không có tập ngon nào nhiều phần tử hơn nó. Tính số tập con siêu ngon.

Tìm tất cả các tập hữu hạn $A$ gồm các số thực dương, có ít nhất hai phần tử và thỏa mãn $a^2+b^2\in A$ với mọi $a,b\in A$, $a\ne b$.

Cho ngũ giác $ABCDE$ với $\widehat A=\widehat B=\widehat C=\widehat D=120^\circ$. Chứng minh rằng
$$4AC\cdot BD\ge3AE\cdot ED.$$

Cho tam giác $ABC$, $I_a$ là tâm bàng tiếp đối diện $A$, và $M$ là ảnh đối xứng của $I_a$ qua $BC$. Chứng minh rằng $AM$ song song với đường thẳng Euler của tam giác $BCI_a$.

Cho dãy $(a_n)_{n\ge1}$ có tính chất: với mọi số nguyên tố $p$ và mọi số nguyên dương $k$,
$$a_{kp+1}=pa_k-3a_p+13.$$
Tìm $a_{2011}$.

Dãy $a_1,a_2,\dots$ được cho bởi $a_1=1,a_2=143$ và
$$a_{n+1}=5\cdot\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\quad(n\ge2).$$
Chứng minh mọi $a_n$ với $n\ge1$ đều là số nguyên.

Cho hình vuông $ABCD$ và điểm $X$ sao cho $A,X$ ở hai phía của $CD$. Các đường thẳng $AX,BX$ lần lượt cắt $CD$ tại $Y,Z$. Biết diện tích $ABCD$ bằng $1$ và diện tích $XYZ$ bằng $\frac23$, hãy xác định độ dài $YZ$.

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x,y,z$, ta có
$$\frac{9}{x+y+z}-\frac{1}{xyz}\le 2.$$

Gọi $S$ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm $f:S\to S$ sao cho $f(x)^2+y$ chia hết cho $x^2+f(y)$ với mọi cặp số nguyên dương $x,y$.

Tìm tất cả các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn
$$\frac1{x^2+1}+\frac1{y^2+4}+\frac1{z^2+9}
=\frac7{12}\sqrt{\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}}.$$

Hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ cắt nhau tại $D,P$. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần $D$ nhất tiếp xúc với $\Gamma_1$ tại $A$ và $\Gamma_2$ tại $B$. Đường thẳng $AD$ cắt $\Gamma_2$ lần nữa tại $C$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BC$. Chứng minh $\angle DPM=\angle BDC$.

Chia hình chữ nhật kích thước $m\times n$ bằng các đường song song với cạnh thành $mn$ hình vuông bằng nhau. Tìm số hình vuông trong cấu hình này.

Chứng minh rằng với mọi số thực $x$, bất đẳng thức sau đúng:
$$x^6+x^4-x^3-x+\frac34\gt 0.$$

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a^3-b^3=2$ và $a^5-b^5\ge4$. Chứng minh rằng $a^2+b^2\ge2$. (I. Bogdanov)

Bản tiếng Nga nhắc lại cùng đề bài và tác giả.

Cho các số nguyên $a,b,c,d$ với $a,c$ đều khác $0$, và đặt $x_n=\gcd(an+b,cn+d)$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng dãy $x_1,x_2,x_3,\dots$ không bị chặn khi và chỉ khi $ad=bc$.