Trên bàn cờ vuông $2012\times2012$, đặt các miếng chữ L như hình dưới đây, không chồng lên nhau (mỗi miếng chữ L phủ đúng $3$ ô của bàn cờ). Tìm số miếng chữ L lớn nhất có thể đặt nếu với hai hàng và hai cột bất kỳ, ít nhất một trong bốn ô giao nhau không bị miếng chữ L nào phủ.
David là một cậu bé rất tò mò. Cậu có một bình dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước (rộng, cao và sâu) là các số nguyên dương đôi một khác nhau. Bình được đổ đầy hai chất lỏng không hòa lẫn $A$, $B$, trong đó thể tích $A$ bằng $36\%$ thể tích $B$.
David nhận thấy khi đặt bình nằm trên bất kỳ mặt nào trong sáu mặt, chiều cao mà mỗi chất lỏng chiếm đều là số nguyên dương.
Thể tích nhỏ nhất có thể có của bình là bao nhiêu?
Cho $N=2012$. Tìm tất cả các bộ $N^2$ số thực $a_{i,j}$, $1\le i,j\le N$, sao cho giới hạn sau hội tụ:
$$\lim_{x\to+\infty}\sum_{1\le i,j\le N}a_{i,j}\sqrt[j]{x+i}.$$
Cho $n\in\mathbb N$ sao cho $n^3+1$ chia hết cho $56$, và $d_1^6+d_2^6+\cdots+d_k^6$ chia hết cho $112$, trong đó $d_1,d_2,\ldots,d_k$ là tất cả các ước dương của $n$. Số ước ít nhất mà $n$ có thể có là bao nhiêu?
Cho tứ giác lồi $ABCD$. Các điểm $P$, $Q$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $\operatorname{area}(ABQ)=\operatorname{area}(ADP)=\frac13\operatorname{area}(ABCD)$.
$PQ$ và đường chéo $AC$ cắt nhau tại $R$.
Tính tỉ số $AR/RC$.
Trong bài này, một hộp là một hình hộp $P\in\mathbb R^3$. Kích thước của hộp $P$ được định nghĩa là $a^s+b^s+c^s$, với $a,b,c$ là các kích thước của nó và $s$ là một số nguyên cố định.
Tìm mọi giá trị $s$ sao cho mệnh đề sau đúng: nếu hộp $P_1$ nằm trong hộp $P_0$ thì kích thước của $P_1$ không vượt quá kích thước của $P_0$.
Các hộp được đặt ở vị trí bất kỳ; đặc biệt, các cạnh không nhất thiết song song với các trục tọa độ.
Hãy xác định, kèm chứng minh, mỗi khẳng định sau đúng hay sai.
a. Nếu $(a_n)_{n\ge1}$ là một dãy giảm gồm các số hạng dương sao cho $\sum a_n=+\infty$, thì tồn tại một dãy giảm $(b_n)_{n\ge1}$ gồm các số hạng dương, thỏa mãn $b_n\le a_n$ với mọi $n$, $\sum b_n=+\infty$ và $\lim(nb_n)=0$.
b. Nếu $(a_n)_{n\ge1}$ là một dãy giảm gồm các số hạng dương sao cho $\sum a_n=+\infty$, thì tồn tại một dãy giảm $(b_n)_{n\ge1}$ gồm các số hạng dương, thỏa mãn $b_n\le a_n$ với mọi $n$, $\sum b_n=+\infty$ và dãy $(nb_n)_{n\ge1}$ giảm.
Cho hai số thực dương $a_0,a_1$. Dãy $(a_n)$ được xác định bởi
$$a_{n+2}=1+\frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad n=0,1,2,\ldots.$$
Chứng minh rằng $|a_{2012}-2|\lt10^{-200}$.
Cho dãy số $x_1, x_2, \ldots$ được xác định như sau: $x_1 = 1$, $x_2 = 2011$, $x_{n+2} = 4022x_{n+1} - x_n$ với mọi $n \ge 1$.
Chứng minh rằng $\frac{x_{2012} + 1}{2012}$ là số chính phương.
Có 42 thí sinh tham gia Kì thi chọn đội tuyển Olympic Toán Quốc tế. Biết rằng mỗi thí sinh quen đúng 20 thí sinh khác. Chứng minh rằng có thể chia các thí sinh hoặc thành 2 nhóm hoặc thành 21 nhóm, sao cho trong mỗi cách chia số người của các nhóm bằng nhau và hai người bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau.
Trong một tam giác vuông có cạnh huyền dài $1$, người ta đánh dấu $25$ điểm. Chứng minh rằng luôn có thể phủ ít nhất $9$ điểm trong số đó bằng một nửa hình tròn bán kính $\frac3{10}$.
Một hình chữ nhật được chia thành $n^2$ hình chữ nhật nhỏ bằng $n-1$ đường ngang và $n-1$ đường dọc. Trong số các hình chữ nhật nhỏ đó có đúng $5660$ loại khác nhau xét theo sự bằng nhau của hình (không bằng nhau từng đôi một). Giá trị nhỏ nhất của $n$ để điều này xảy ra là bao nhiêu?
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $D$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Giả sử tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ODE$ cắt $AD$ tại điểm thứ hai $F$ (khác $D$). Đường thẳng $EF$ cắt $AB$ tại $M$, đường thẳng $DM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$ (khác $D$).
Chứng minh rằng $K,F,C$ thẳng hàng.
Mỗi cá thể của một quần thể có hai gen (có thể trùng nhau) trong các gen $G_1,G_2,\dots,G_n$. Giả sử ở thế hệ 0, $p_{ij}(0)$ ($1\le i,j\le n$) là tỉ lệ cá thể có kiểu gen $G_iG_j$ (hoặc $G_jG_i$, giống hệt về sinh học).
Để tạo mỗi cá thể thế hệ $k+1$, chọn độc lập và ngẫu nhiên hai cá thể thế hệ $k$, rồi chọn độc lập và ngẫu nhiên một gen từ mỗi cá thể: hai gen đó là kiểu gen của con. Gọi $p_{ij}(k)$ là xác suất một cá thể thế hệ $k$ có kiểu gen $G_iG_j$ (hoặc $G_jG_i$). Giả sử quần thể đủ lớn để có ít nhất hai cá thể được sinh ra.
Chứng minh $p_{ij}(2012)=p_{ij}(2013)$ với mọi $1\le i,j\le n$.
Cho tam giác $ABC$, điểm $P$ nằm trong tam giác, và các điểm $H_A,H_B,H_C$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $PBC,PAC,PAB$. Chứng minh rằng hai tam giác $H_AH_BH_C$ và $ABC$ có cùng diện tích.
Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên $x,n$ với $1\le x\lt n$. Có $x+1$ hộp phân biệt và $n-x$ quả bóng giống nhau. Gọi $f(n,x)$ là số cách phân bố $n-x$ quả bóng vào $x+1$ hộp. Tìm tất cả số nguyên $n\gt1$ sao cho $f(n,x)$ chia hết cho $p$ với mọi $x\in\{1,2,\ldots,n\}$.
