Cho hai đa thức thực phân biệt $f(x)=x^2+ax+b$ và $g(x)=x^2+cx+d$ sao cho hoành độ đỉnh của đồ thị $f$ là một nghiệm của $g$, hoành độ đỉnh của đồ thị $g$ là một nghiệm của $f$, và cả $f,g$ có cùng giá trị nhỏ nhất. Nếu hai đồ thị cắt nhau tại $(2012,-2012)$, tính $a+c$.
Có tổng cộng $2^n$ đồng xu được chia cho một số trẻ em. Nếu một em có ít nhất một nửa tổng số xu thì phân phối lại: chuyển xu từ em đó cho mỗi em còn lại sao cho mỗi em nhận thêm đúng bằng số xu đang có. Khi một em có toàn bộ số xu thì không thể phân phối lại. Số lần phân phối lại liên tiếp lớn nhất là bao nhiêu? Ví dụ, $32$ xu được chia cho $6$ em theo các số $17,2,9,1,2,1$; sau một lần phân phối lại, các số lần lượt là $2,4,18,2,4,2$. Trong ví dụ, số lần ấy là $2$. Hãy giải thích đáp án!
Steph và Jeff đều bắt đầu với số $4$, còn Travis tung một đồng xu. Mỗi lần xuất hiện mặt ngửa, Steph thay số $x$ của mình bằng $2x-1$, còn Jeff thay số $y$ của mình bằng $y+8$. Mỗi lần xuất hiện mặt sấp, Steph thay số $x$ của mình bằng $\frac{x+1}{2}$, còn Jeff thay số $y$ của mình bằng $y-3$. Sau một số lần tung dương, thật kỳ lạ là Steph và Jeff thu được cùng một số nhỏ hơn $2012$. Đồng xu đã được tung bao nhiêu lần?
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa
$$\frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac n{3^{a_n}}=1.$$
Cho $\pi$ là một hoán vị các số từ $1$ đến $2012$. Số lượng lớn nhất có thể của các số nguyên $n$, $1\leq n\leq2011$, sao cho $\pi(n+1)$ chia hết cho $\pi(n)$ là bao nhiêu?
Cho tam giác $ABC$ có $BC=7$, $CA=8$, $AB=9$. Các điểm $D,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA$, và $AD,BE$ cắt nhau tại $G$. Điểm $G'$ là ảnh của $G$ qua phép đối xứng tâm $D$. Đường thẳng $G'E$ cắt $CG$ tại $P$. Tính $PG$.
Một số số nguyên dương được viết thành một hàng. Lặp lại thao tác sau: Alice chọn hai số kề nhau $x,y$ sao cho $x\gt y$ và $x$ nằm bên trái $y$, rồi thay cặp $(x,y)$ bằng $(y+1,x)$ hoặc $(x-1,x)$. Chứng minh rằng cô ấy chỉ có thể thực hiện hữu hạn thao tác.
Với mỗi số nguyên dương $n$, có một đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính $n$. Rainbow Dash bắt đầu ở một điểm trên mặt phẳng không nằm trên đường tròn nào. Cô bay theo một hướng trên đường thẳng. Cô đi $\frac{\sqrt5}5$ đơn vị trước khi cắt một đường tròn, rồi $\sqrt5$ đơn vị, rồi $\frac{3\sqrt5}5$ đơn vị. Cô sẽ đi thêm bao xa trước khi cắt một đường tròn nữa?
Cho đường tròn cố định $k$ và ba điểm thẳng hàng $E,F,G$, trong đó $E,G$ nằm ngoài đường tròn, còn $F$ nằm trong. Chứng minh rằng nếu $ABCD$ là tứ giác bất kỳ nội tiếp $k$ sao cho các đường thẳng kéo dài của $AB,AD,DC$ lần lượt đi qua $E,F,G$, thì cạnh $BC$ đi qua một điểm cố định thẳng hàng với $E,F,G$, không phụ thuộc tứ giác $ABCD$.
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,\ldots,a_n$ thỏa
$$\frac1{2a_1}+\frac1{2a_2}+\cdots+\frac1{2a_n}=\frac1{3a_1}+\frac1{3a_2}+\cdots+\frac n{3a_n}=1.$$
Cho số nguyên $n\ge1$. Số lớn nhất các cặp rời nhau lấy từ tập $\{1,2,\ldots,n\}$ là bao nhiêu, nếu tổng các phần tử của mỗi cặp là những số nguyên đôi một khác nhau và không vượt $n$?
Mark và William chơi một trò chơi. Hai bức tường cách nhau 1 mét; mỗi người đặt một quả cầu tại một bức tường. Họ đồng thời thả các quả cầu chuyển động thẳng về phía nhau. Cả hai quả cầu được phù phép để khi va nhau, chúng lập tức đảo chiều và chuyển động với tốc độ gấp đôi trước đó. Ngoài ra, Mark phù phép quả cầu của mình để khi chạm tường, nó lập tức đảo chiều và tăng gấp đôi tốc độ (quả cầu của William đảo chiều nhưng giữ nguyên tốc độ). Ban đầu, quả cầu của Mark chuyển động với tốc độ $\frac1{1000}$ mét/giây và của William với tốc độ 1 mét/giây. Mark thắng khi quả cầu của mình đi qua trung điểm giữa hai tường. Khi điều này xảy ra lần đầu, tốc độ của quả cầu đó, tính bằng mét/giây, là bao nhiêu?
Bạn có một cành cây dài $1$. Lặp lại thao tác sau: chọn độc lập và đều ngẫu nhiên hai điểm trên cành cây, cắt tại hai điểm đó và chỉ giữ lại đoạn dài nhất. Sau $2012$ lần lặp, độ dài kỳ vọng của đoạn còn lại bằng bao nhiêu?
Amy và Ben cần ăn tổng cộng $1000$ củ cà rốt và $1000$ chiếc bánh muffin. Chưa được ăn bánh cho đến khi ăn hết tất cả cà rốt. Ngoài ra, Amy không được ăn bánh trong vòng $5$ phút sau khi ăn cà rốt, và Ben cũng vậy. Nếu Amy ăn $40$ củ cà rốt mỗi phút và $70$ chiếc bánh mỗi phút, còn Ben ăn $60$ củ cà rốt mỗi phút và $30$ chiếc bánh mỗi phút, số phút ít nhất để họ ăn hết thức ăn là bao nhiêu?
Các điểm $A,B,C,D$ được chọn ngẫu nhiên độc lập, đều trong hình vuông đơn vị. Xác suất để cả sáu đường thẳng $\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD},\overline{BC},\overline{BD},\overline{CD}$ đều có hệ số góc dương bằng bao nhiêu?