Hình thang $ABCD$ có đáy lớn $AB$ nội tiếp đường tròn $k$. Gọi $A_0,B_0$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA$. Gọi $N$ là chân đường cao từ $C$ xuống $AB$, và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Đường tròn $k_1$ đi qua $A_0,B_0$ và tiếp xúc với $k$ tại điểm $X$ khác $C$. Chứng minh rằng $D,G,N,X$ thẳng hàng.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Điểm $D$ thuộc đoạn $AC$, điểm $E$ thuộc đoạn $BD$ sao cho $\angle ABC=\angle DAE=\angle AED$. Chứng minh $|BE|=2|CD|$. (Lithuania 2010)
Một tam giác đều cạnh $3$ được chia thành $9$ tam giác đều cạnh $1$. Tại mỗi điểm là đỉnh của một tam giác nhỏ (các đỉnh được tô màu trong hình), viết một số nguyên từ $1$ đến $10$, sao cho mỗi số xuất hiện đúng một lần. Trong mỗi tam giác nhỏ, viết tổng ba số tại các đỉnh của nó. Chứng minh rằng ít nhất ba tổng lớn hơn $11$.
Một trạm thông tin sử dụng bốn mã khác nhau $A,B,C,D$ để liên lạc, nhưng mỗi tuần chỉ dùng một mã. Mã dùng trong một tuần được chọn ngẫu nhiên với xác suất bằng nhau trong ba mã không được dùng ở tuần ngay trước đó. Giả sử tuần đầu tiên dùng mã $A$. Xác suất tuần thứ bảy cũng dùng mã $A$ là _______ (viết dưới dạng phân số tối giản).
Đường tròn nội tiếp tam giác không cân $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB,CA$ lần lượt tại $M,N$. Các đường tròn bàng tiếp đối diện $B,C$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh tứ giác $MNPQ$ nội tiếp khi và chỉ khi $\angle CAB=90^\circ$.
Dọc bờ biển một hòn đảo có 20 ngôi làng. Mỗi làng có 20 chiến binh. Mỗi chiến binh đấu với tất cả chiến binh ở các làng khác. Không có hai chiến binh mạnh bằng nhau, và người mạnh hơn thắng. Ta nói làng $A$ mạnh hơn làng $B$ nếu chiến binh của $A$ thắng ít nhất $k$ trận trong các trận đấu giữa hai làng. Biết rằng mỗi làng đều mạnh hơn làng bên cạnh theo chiều kim đồng hồ. Chứng minh rằng giá trị lớn nhất có thể của $k$ là 290.
Cho đa thức hệ số thực bậc $2012$ với hệ số cao nhất bằng $1$,
$$P(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+a_{2010}x^{2010}+\dots+a_1x+a_0.$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực $c$ sao cho $|\operatorname{Im}z|\le c|\operatorname{Re}z|$, trong đó $\operatorname{Re}z$ và $\operatorname{Im}z$ lần lượt là phần thực và phần ảo của bất kỳ nghiệm nào của một đa thức thu được bằng cách đổi một số hệ số của $P(x)$ thành số đối của chúng. (Đề xuất bởi Zhu Huawei)
Gọi tiêu điểm và đường chuẩn của parabol $y^2=2px$ ($p\gt 0$) lần lượt là $F,l$. Hai điểm $A,B$ di động trên parabol thỏa mãn $\angle AFB=\pi/3$. Gọi $N$ là hình chiếu của $M$, trung điểm đoạn $AB$, lên $l$. Giá trị lớn nhất của $\frac{|MN|}{|AB|}$ là ______.
Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\omega$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $ABC,ACD,ABD$. Gọi $E$ là trung điểm cung $DB$ của $\omega$ chứa $A$. Đường thẳng $EK$ cắt $\omega$ tại $F$ ($F\ne E$). Chứng minh $C,F,I,J$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trong các cạnh $BC,CA,AB$, sao cho $DE$ vuông góc với $CO$ và $DF$ vuông góc với $BO$. (Nằm trong cạnh có nghĩa, chẳng hạn, $D$ nằm trên đường thẳng $BC$ và ở giữa $B,C$ trên đường thẳng ấy.) Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$. Chứng minh hai đường thẳng $DK$ và $BC$ vuông góc.
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $d$, tồn tại một bội dương $n$ của $d$ sao cho có thể xóa một chữ số khác không của $n$ để thu được một bội khác của $d$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Một đường thẳng qua $I$ cắt phần trong của đoạn $AB$ tại $M$ và phần trong của đoạn $BC$ tại $N$. Giả sử tam giác $BMN$ nhọn. Lấy các điểm $K,L$ trên đoạn $AC$ sao cho $\angle BMI=\angle ILA$ và $\angle BNI=\angle IKC$. Chứng minh rằng $|AM|+|KL|+|CN|=|AC|$.
Cho $P_0,P_1,P_2,\dots,P_n$ là $n+1$ điểm trong mặt phẳng, và khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ trong số đó là $d$ ($d\gt 0$). Chứng minh
$$|P_0P_1|\cdot|P_0P_2|\cdots|P_0P_n|\gt \left(\frac d3\right)^n\sqrt{(n+1)!}.$$
