Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cân tại $C$. Điểm $M$ nằm trong cạnh $BC$. Có điểm $N$ trên tia $AM$ sao cho $M$ nằm giữa $A,N$ và $AN=AC$. Đường tròn ngoại tiếp $CMN$ cắt $\Gamma$ tại hai điểm phân biệt $C,P$. Hai đường thẳng $AB,CP$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $\angle BMQ=\angle QMN$.
Trong tam giác $ABC$, gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên đường thẳng $AB$, $E$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên đường thẳng $AC$, và $P$ là trung điểm đoạn $CD$. Gọi $K_1$ là đường tròn ngoại tiếp $ABC$, $K_2$ là đường tròn tâm $C$, bán kính $CD$. Chứng minh đường thẳng $EP$ đi qua các giao điểm của $K_1,K_2$ khi và chỉ khi $\angle ACB$ là góc vuông.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp $ABCD$ là $O$. Giao điểm thứ hai, khác $O$, của các đường tròn $ABO$ và $CDO$ là $P$, nằm trong tam giác $DAO$. Chọn $Q$ trên phần kéo dài $OP$ qua $P$, và $R$ trên phần kéo dài $OP$ qua $O$. Chứng minh $\angle QAP=\angle OBR$ khi và chỉ khi $\angle PDQ=\angle RCO$.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ nằm trong tam giác. Các đường $XA,XB,XC$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $ABC$ lần lượt tại $P,Q,R$. Điểm $U$ nằm trên tia $XP$ (tức trên đường thẳng $XP$ sao cho $P,U$ cùng phía đối với $X$). Đường qua $U$ song song $AB$ cắt $BQ$ tại $V$. Đường qua $U$ song song $AC$ cắt $CR$ tại $W$. Chứng minh $Q,R,V,W$ cùng nằm trên một đường tròn.
Có $n$ con tắc kè đứng thành một vòng tròn. Một số con màu đỏ, các con còn lại màu xanh. Mỗi phút, một số con đổi màu từ đỏ sang xanh hoặc ngược lại theo quy tắc: một con đổi màu khi và chỉ khi cả hai con hàng xóm của nó có cùng màu. Giả sử sau $2n$ phút, tất cả các con đều có màu giống như lúc đầu. Chứng minh rằng có hai con trong vòng tròn đã đổi màu số lần bằng nhau.
Cho tam giác $ABC$. Một điểm $P$ ở bên trong $ABC$ được gọi là tốt nếu có thể tìm đúng $27$ tia xuất phát từ $P$ cắt các cạnh của tam giác $ABC$ sao cho các tia chia tam giác thành $27$ tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau. Xác định số điểm tốt của một tam giác $ABC$ cho trước.
Trong tam giác nhọn $ABC$, các điểm $D,E,F$ lần lượt là chân các đường cao từ $A,B,C$. Tâm nội tiếp của các tam giác $AEF,BDF$ lần lượt là $I_1,I_2$; tâm ngoại tiếp của các tam giác $ACI_1,BCI_2$ lần lượt là $O_1,O_2$. Chứng minh rằng $I_1I_2$ song song với $O_1O_2$.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ (tức mọi góc trong đều nhỏ hơn $180^\circ$), sao cho tồn tại điểm $M$ trên đoạn $AB$ và điểm $N$ trên đoạn $BC$ với tính chất $AN$ chia tứ giác thành hai phần cùng diện tích, và $CM$ cũng vậy. Chứng minh $MN$ chia đôi đường chéo $BD$.
Trong một bảng vuông $999\times999$, một số ô màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba ô $(C_1,C_2,C_3)$, trong đó hai ô đầu cùng hàng, hai ô cuối cùng cột, $C_1,C_3$ màu trắng và $C_2$ màu đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Có hai hộp bóng, hộp thứ nhất có $m$ quả, hộp thứ hai có $n$ quả, với $m,n\gt 0$. Cho phép hai thao tác:
(i) Lấy ra khỏi mỗi hộp cùng một số quả bóng.
(ii) Nhân số bóng trong một hộp lên $k$ lần.
Có phải luôn có thể lấy hết bóng khỏi cả hai hộp bằng hai thao tác này không,
a) khi $k=2$?
b) khi $k=3$?
Với hàm $f:\mathcal P(\mathbb N)\to\mathbb N$ và tập con $A\subseteq\mathbb N$, ta gọi $f$ là một hàm dự đoán cho $A$ nếu tập $\{x\in\mathbb N\mid x\notin A,\ f(A\cup\{x\})\ne x\}$ hữu hạn. Chứng minh tồn tại một hàm là hàm dự đoán cho mọi tập con $A$ của tập số tự nhiên.
Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge2$ sao cho với mọi cặp số nguyên $i,j\in[0,n]$, hai số $i+j$ và $\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}$ có cùng tính chẵn lẻ.
Cho tam giác $ABC$ với $\angle BCA=90^\circ$, và $C_0$ là chân đường cao từ $C$. Chọn $X$ nằm trong đoạn $CC_0$. Gọi $K,L$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $AX,BX$ sao cho $BK=BC$, $AL=AC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AL$ và $BK$. Chứng minh $MK=ML$.
Cho $S$ là một tập khác rỗng gồm các số nguyên tố, thỏa mãn: với mỗi tập con thực sự $P$ của $S$, mọi ước nguyên tố của số $\left(\prod_{p\in P}p\right)-1$ đều thuộc $S$. Xác định tất cả các tập $S$ như vậy.
Cho $g$ là một đa thức bậc ít nhất $2$ có các hệ số không âm. Tìm mọi hàm $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ sao cho với mọi $x,y\in\mathbb R^+$,
$$f(f(x)+g(x)+2y)=f(x)+g(x)+2f(y).$$
Cho tam giác $ABC$. Đường phân giác của $\angle CAB$ cắt $BC$ tại $L$. Các điểm $M,N$ lần lượt nằm trong các cạnh $AC,AB$, sao cho $AL,BM,CN$ đồng quy và $\angle AMN=\angle ALB$. Chứng minh $\angle NML=90^\circ$.