MathNet 2012

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho tồn tại số nguyên $a$ thỏa mãn $a^4=pa^3+q$.

Tuổi hiện nay của Ana gấp bốn lần tuổi của Petar vào lúc Ana bằng tuổi hiện nay của Petar. Khi Petar bằng tuổi hiện nay của Ana, tổng số tuổi của họ sẽ là $95$. Hỏi hiện nay Ana và Petar bao nhiêu tuổi?

Với mỗi số nguyên dương $k$, gọi $t(k)$ là ước lẻ lớn nhất của $k$. Xác định tất cả các số nguyên dương $a$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ mà mọi hiệu
$t(n+a)-t(n)$, $t(n+a+1)-t(n+1)$, $\ldots$, $t(n+2a-1)-t(n+a-1)$ đều chia hết cho $4$.

Cho $a,b$ là hai số tự nhiên lẻ. Giả sử $a$ là ước của $b^2+2$ và $b$ là ước của $a^2+2$. Chứng minh $a,b$ đều thuộc dãy $(v_n)$ xác định bởi
$$v_1=v_2=1\quad\text{và}\quad v_n=4v_{n-1}-v_{n-2}\quad\forall n\ge3.$$

Cho hai cấp số cộng $(a_n)$, $(b_n)$ và số nguyên $m\gt 2$. Xét $m$ tam thức bậc hai $P_k(x)=x^2+a_kx+b_k$, $k=1,2,\ldots,m$. Giả sử cả $P_1(x)$ và $P_m(x)$ đều không có nghiệm thực. Chứng minh rằng không tam thức nào trong số đã cho có nghiệm thực.

Một trong hai số $x^2$ và $(1-x)^2$ nhỏ hơn $1$, số còn lại lớn hơn $1$. Chứng minh $0\lt x^2-x\lt2$.

Hình gồm năm ô vuông đơn vị được gọi là “dấu cộng”. Có bao nhiêu cách đặt một dấu cộng lên một bảng cùng hình dạng gồm $5\cdot5^2$ ô vuông đơn vị, sao cho dấu cộng che đúng năm ô của bảng?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k\ge2$, tồn tại $k$ số nguyên dương có tổng bằng tích.

Cho ngũ giác đều $ABCDE$. Hai đường thẳng $BC$ và $DE$ cắt nhau tại $F$. Tìm các góc của tam giác $BEF$.

Một tam giác có diện tích $1{,}5\text{ cm}^2$ nội tiếp đường tròn bán kính $1{,}25$ cm, trong đó một cạnh là đường kính của đường tròn. Tìm độ dài các cạnh tam giác.

Với những $n\in\mathbb N$ nào tồn tại một góc $\alpha$ và một đa giác lồi $n$ cạnh có các góc $\alpha,2\alpha,\ldots,n\alpha$?

Trong mỗi ô của một bàn cờ $2012\times2012$ có một người; mỗi người hoặc luôn nói thật, hoặc luôn nói dối. Mọi người đều nói: “Trong hàng của tôi có số người nói dối bằng số người nói dối trong cột của tôi.” Xác định số người nói thật ít nhất có thể có trên bàn cờ.

Một quốc gia có $n$ thành phố ($n\ge3$) và hai hãng hàng không. Giữa mỗi cặp thành phố có đúng một đường bay hai chiều do một trong hai hãng khai thác. Một nữ nhà toán học dự định một hành trình bắt đầu và kết thúc tại cùng một thành phố, đi qua ít nhất hai thành phố khác, và mỗi thành phố trên hành trình chỉ được ghé một lần (trừ việc trở về điểm xuất phát). Bà nhận thấy dù xuất phát ở đâu và chọn hành trình nào, bà cũng phải dùng chuyến bay của cả hai hãng. Tìm giá trị lớn nhất của $n$.

Có $1000$ học sinh đứng thành một vòng tròn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ với $100\le k\le300$ sao cho trên vòng tròn có một nhóm $2k$ học sinh liên tiếp mà nửa đầu có số nữ bằng nửa sau.

Cho tam giác nhọn $ABC$, gọi $M,N$ lần lượt là chân các đường cao từ $A,B$. Nếu $|AN|=|NM|$, chứng minh tâm nội tiếp tam giác $ABC$ nằm trên đường cao $BN$.

Ante viết liên tiếp các số nguyên từ $1$ đến $40$ không có khoảng cách, được số nhiều chữ số $12345\ldots383940$. Sau đó bạn xóa $60$ chữ số. Số lớn nhất có thể thu được là bao nhiêu?

Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a_n$ là số chính phương lớn nhất không vượt quá $n$, và $b_n$ là số chính phương nhỏ nhất lớn hơn $n$. Chẳng hạn, $a_9=3^2$, $b_9=4^2$, $a_{20}=4^2$ và $b_{20}=5^2$.
Tính tổng $600$ số hạng
$$\frac1{a_1b_1}+\frac1{a_2b_2}+\cdots+\frac1{a_{600}b_{600}}.$$

Có 100 viên bi kim loại trông hoàn toàn giống nhau; 50 viên có tính phóng xạ. Có ba máy dò phóng xạ. Với bất kỳ nhóm bi nào, mỗi máy được dùng để xác định nhóm có chứa bi phóng xạ hay không. Biết rằng một máy luôn trả lời đúng, một máy luôn trả lời sai, còn máy thứ ba đôi khi đúng, đôi khi sai. Không biết máy nào thuộc loại nào. Hãy đưa ra quy trình xác định chắc chắn 50 viên bi phóng xạ. Có thể dùng các máy không giới hạn số lần và với số lượng bi tùy ý.

Cho tứ giác $A_1A_2A_3A_4$ không nội tiếp. Gọi $O_1,r_1$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_2A_3A_4$. Định nghĩa $O_2,O_3,O_4$ và $r_2,r_3,r_4$ tương tự. Chứng minh rằng
$$\begin{aligned}
&\frac1{O_1A_1^2-r_1^2}+\frac1{O_2A_2^2-r_2^2}\\
&\qquad+\frac1{O_3A_3^2-r_3^2}+\frac1{O_4A_4^2-r_4^2}=0.
\end{aligned}$$

Chỉ là cấu hình minh họa.

Cho $D$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Đặt $\alpha_1=\angle DAB$, $\alpha_2=\angle CAD$. Chứng minh
$$\frac{\sin(\alpha_1+\alpha_2)}{|AD|}=\frac{\sin\alpha_1}{|AC|}+\frac{\sin\alpha_2}{|AB|}.$$