Chi phí tổ chức Olympic Toán quốc gia tăng mỗi năm $0{,}5\%$ so với năm trước. Vào năm nào chi phí sẽ đúng bằng hai lần chi phí năm 2012?
Chú ý: chi phí năm 2012 khác không.
(A) 2023 (B) 2150 (C) 2151 (D) 2212 (E) không bao giờ.
Cho hình vuông $MNPQ$ cạnh 1, và các điểm $A,B,C,D$ lần lượt trên $MN,NP,PQ,QM$ sao cho $AC\cdot BD=\frac54$. Có thể chia tập $\{AB,BC,CD,DA\}$ thành hai tập con $S_1,S_2$, mỗi tập có hai phần tử, sao cho tổng các phần tử của mỗi tập là số nguyên dương hay không?
Với số thực $r$, ký hiệu $[r]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$. Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa mãn
$$\left\lfloor\frac{1000000}n\right\rfloor-\left\lfloor\frac{1000000}{n+1}\right\rfloor=1?$$
Hai người $A$ và $B$ đi lên một cầu thang có một số bậc. Mỗi bước $A$ lên 2 bậc, còn $B$ lên 5 bậc; riêng ở bước cuối, nếu $A$ chỉ còn 1 bậc thì đi nốt 1 bậc, và nếu $B$ còn không quá 4 bậc thì đi hết số bậc còn lại. Để lên hết cầu thang, $B$ đi ít hơn $A$ 6 bước. Xác định tất cả các số bậc có thể có của cầu thang.
Alice, Berto và Carlo muốn chôn kho báu ở một điểm cách đều cả ba người. Họ ở ba đỉnh của tam giác vuông có một góc $30^\circ$ và chu vi $6$ mét. Kho báu cách mỗi người bao nhiêu?
(A) $1$ m; (B) $\frac32$ m; (C) $2$ m; (D) $3-\sqrt3$ m; (E) $3$ m.
Biết rằng $p(x)$ là đa thức monic bậc $5$ và các nghiệm của phương trình $p(x)=0$ chính xác là $x=0,1,2,4$. Xác định giá trị lớn nhất có thể của hệ số của hạng tử bậc nhất.
Chú ý: đa thức monic là đa thức có hệ số của hạng tử bậc cao nhất (ở đây là bậc năm) bằng $1$.
(A) $-32$; (B) $16$; (C) $32$; (D) $64$; (E) Có thể lớn tùy ý.
Trong tam giác nhọn $ABC$ có $AB\lt AC$, đường phân giác từ $A$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $P$ song song $AB$ cắt $AC$ tại $Q$. Trên đường thẳng này, lấy $R$ thuộc tia gốc $Q$ không chứa $P$ sao cho $QR=QA$. Gọi $S$ là hình chiếu vuông góc của $R$ lên $BC$, và $T$ là giao điểm của $AC$ với đường thẳng qua $P$ vuông góc $AP$.
a. Chứng minh $Q$ là tâm ngoại tiếp tam giác $APR$.
Đường tròn $X$ nội tiếp tứ giác $PQRS$. Dựng bốn đường tròn $A,B,C,D$, mỗi đường tròn tiếp xúc với ba trong bốn đường thẳng chứa các cạnh tứ giác như hình. Bán kính của $A,B,C,X$ lần lượt là $2,1,4,3$. Tìm bán kính $D$.
Hai người $A,B$ mỗi người viết hai số nguyên dương lên bảng. Tích hai số của $A$ bằng hai lần tổng hai số của $B$, và tích hai số của $B$ bằng hai lần tổng hai số của $A$. Ngoài ra, tổng hai số của $A$ không nhỏ hơn tổng hai số của $B$. Tìm mọi giá trị có thể của tổng hai số do $B$ viết. Bốn số không nhất thiết khác nhau.
Các điểm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn theo thứ tự như hình dưới. Góc tạo bởi tiếp tuyến tại $B$ và đường thẳng $AB$ bằng $30^\circ$; góc tạo bởi tiếp tuyến tại $C$ và đường thẳng $CD$ bằng $10^\circ$. Hai đường thẳng $AB,DC$ song song và nằm ở hai phía đối nhau đối với tâm đường tròn. Tính góc $\angle BDC$.
Trong một hình tròn đường kính 1, xét 65 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại ba điểm trong số đó tạo thành tam giác có diện tích không quá $\frac1{72}$.
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho phân số $m/n$ tối giản và nhỏ hơn 1, đồng thời $mn=1\cdot2\cdot3\cdots24\cdot25$, tức tích của 25 số nguyên dương đầu tiên?
(A) $2^7$ (B) $2^8-1$ (C) $2^8$ (D) $2^9-1$ (E) $2^9$.
Một tập con $B$ của các số tự nhiên được gọi là “trung thành” nếu tồn tại các số nguyên dương $i\leq j$ sao cho $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$. Gọi $Q$ là họ các tập con trung thành. Với mỗi tập con $A=\{a_1\lt a_2\lt\cdots\lt a_k\}$ của $\{1,2,\ldots,n\}$, đặt
$$g(A)=\max_{B\subset A,\ B\in Q}|B|,\qquad f(A)=\max_{1\leq i\leq k-1}(a_{i+1}-a_i).$$
Đồng thời đặt
$$G(n)=\sum_{A\subseteq\{1,\ldots,n\}}g(A),\qquad F(n)=\sum_{A\subseteq\{1,\ldots,n\}}f(A).$$
Chứng minh tồn tại $m\in\mathbb N$ sao cho với mọi số nguyên dương $n\gt m$, ta có $F(n)\gt G(n)$. ($|A|$ là số phần tử của $A$; nếu $|A|\leq1$, đặt $f(A)=0$.)
Cho tam giác nhọn $ABC$ và $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Tô mỗi điểm $P$ trong tam giác màu đỏ nếu đỉnh gần $P$ nhất là $A$, màu xanh lá nếu đỉnh gần nhất là $B$, và màu xanh dương nếu đỉnh gần nhất là $C$. Biết $AH=35,BH=21,CH=15$, diện tích miền màu đỏ bằng bao nhiêu?
Cho $p(x),q(x)$ là hai đa thức khác nhau, bậc không quá 3, có hệ số nguyên, thỏa mãn
$$p(1)=q(1),\quad p(2)=q(2),\quad p(3)=q(3),$$
$$p(-1)=-q(-1),\quad p(-2)=-q(-2),$$
$$p(-3)=-q(-3).$$
Giá trị nhỏ nhất của $[p(0)]^2+[q(0)]^2$ là bao nhiêu?
Cho số nguyên dương $n$ và hai tập $A,B$, mỗi tập gồm $n$ điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $T(A)$ là số đường gấp khúc không tự cắt gồm $n-1$ đoạn, có các đỉnh thuộc $A$. Định nghĩa $T(B)$ tương tự. Nếu các điểm của $B$ là các đỉnh một đa giác lồi $n$ cạnh còn các điểm của $A$ thì không, chứng minh $T(B)\lt T(A)$.
