MathNet 2012

Một mặt bàn gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Ban đầu, tại tâm của một số ô, mỗi ô có một con kiến. Từ thời điểm $0$, mỗi con đi với tốc độ $1$ theo hướng song song với cạnh ô vuông. Khi các con kiến gặp nhau:
(i) Nếu đúng hai con gặp nhau trực diện, cả hai quay theo chiều kim đồng hồ $90^\circ$ rồi tiếp tục đi với tốc độ $1$.
(ii) Nếu hai con gặp nhau theo hai hướng vuông góc, hoặc có hơn hai con gặp nhau, chúng giữ nguyên vận tốc và hướng đi.
Kiến tới mép bàn sẽ rơi xuống và không trở lại. Thời điểm con cuối cùng rơi xuống gọi là “ngày tận thế” của đàn kiến. Xét mọi cách đặt kiến ban đầu, tìm thời điểm tận thế muộn nhất có thể, hoặc chứng minh không nhất thiết có ngày tận thế.

Có bao nhiêu đa thức bậc $5$ có các hệ số bằng $1$ hoặc $-1$ và có nghiệm $1$?
(A) $5$
(B) $10$
(C) $15$
(D) $20$
(E) $24$

Một hình trụ có bán kính $1$ cm và chiều cao $4$ cm. Điểm $P$ nằm trên đường tròn đáy dưới, điểm $Q$ nằm trên đường tròn đáy trên ngay phía trên $P$. Một sợi dây nối $P$ với $Q$ quấn đúng một vòng quanh hình trụ (xem hình). Độ dài ngắn nhất của sợi dây như vậy là bao nhiêu cm?


(A) $2\pi$
(B) $4\pi$
(C) $\pi\sqrt2$
(D) $2\sqrt{\pi^2+4}$

Tìm tất cả số tự nhiên $a,b$ sao cho
$$a\mid b^2,\quad b\mid a^2,\quad\text{và}\quad a+1\mid b^2+1.$$

Tổng tất cả các số thực nghiệm đúng phương trình $|x-2011|+|x-2012|=3$ là bao nhiêu?
(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 4021 (E) 4023

Hai điểm nào nằm trên đồ thị hàm số bậc nhất $y=bx+1$, trong đó $b$ là số thực khác $0$?

(A) $(0,1)$ và $(\frac1b,0)$

(B) $(0,b)$ và $(-\frac1b,0)$

(C) $(0,1)$ và $(b,0)$

(D) $(0,1)$ và $(-\frac1b,0)$

(E) $(0,-\frac1b)$ và $(1,0)$

Mỗi số nguyên dương được tô đỏ hoặc xanh. Hàm $f$ từ tập số nguyên dương vào chính nó có hai tính chất:

(a) Nếu $x\le y$ thì $f(x)\le f(y)$.

(b) Nếu $x,y,z$ là các số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) cùng màu và $x+y=z$ thì $f(x)+f(y)=f(z)$.

Chứng minh tồn tại số dương $a$ sao cho $f(x)\le ax$ với mọi số nguyên dương $x$.

Các điểm $A_1,A_2,\dots,A_{2n+1}$ là các đỉnh của đa giác đều $2n+1$ cạnh. Tìm số bộ ba $A_i,A_j,A_k$ sao cho tam giác $A_iA_jA_k$ tù.

Tập hợp các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x+xy+y^2=1$ và $y(5+x)\ge0$. Biểu thức $x-y$ có thể nhận những giá trị nguyên nào?

Tìm tất cả số tự nhiên $n$ và số nguyên tố $p$ sao cho $\sqrt[3]{n}+\frac{p}{\sqrt[3]{n}}$ là bình phương của một số tự nhiên.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Các điểm $K,L,M$ lần lượt nằm trên các cạnh $CA,AB,BC$ sao cho $\angle MLK$ vuông và $|KC|=|KL|$. Chứng minh các phân giác của $\angle AKL$ và $\angle LMB$ song song.

Điểm $E$ nằm trên cạnh $CD$ của hình vuông $ABCD$. Điểm $F$ nằm trên đường thẳng $AB$ nhưng không thuộc đoạn $AB$, và $|BF|=|DE|$. Chứng minh hai đường thẳng $AC$ và $EF$ vuông góc.

Cho hàm số $f:\mathbb Q^+\to\mathbb R^+$ thỏa mãn
$$f(x+y)-f(x-y)=4\sqrt{f(x)f(y)}$$
với mọi $0\lt y\lt x$.

(a) Chứng minh $f(2x)=4f(x)$ với mọi $x\in\mathbb Q^+$.

(b) Tìm tất cả các hàm như vậy.

Cho $S=\{1,2,\dots,2012\}$. Có bao nhiêu hàm $f:S\to S$ thỏa mãn cả hai điều kiện?
(1) $f$ là song ánh.
(2) Với mọi $1\le a\le2012$, $f(a)+f^{-1}(a)=2013$, trong đó $f^{-1}$ là hàm ngược của $f$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $D$ là giao điểm của phân giác góc $\angle BAC$ với cạnh $BC$, và $E$ là giao điểm của phân giác góc $\angle CBA$ với cạnh $AC$. Giả sử $|CD|=|CE|$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân.

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân, có tâm ngoại tiếp $O$ và tâm nội tiếp $I$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P=AI\cap OD$, $Q=BI\cap OE$, $R=CI\cap OF$, và $M$ là tâm ngoại tiếp tam giác $PQR$. Chứng minh $I,M,O$ thẳng hàng.

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c,d$ sao cho
$$2a^2+3b^2=c^2+6d^2.$$

Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số nguyên không âm $n$:
$$\lfloor\sqrt n+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}\rfloor=\lfloor\sqrt{9n}+8\rfloor.$$

Gọi $O$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường phân giác góc $A$ cắt lại $O$ tại $P$ và cắt $BC$ tại $D$. Đường vuông góc từ $D$ đến $AB$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $O$ tại $Q$, chọn sao cho $E$ nằm trên đoạn $DQ$. Gọi $F=PQ\cap BC$, $G=AF\cap CQ$. Chứng minh $EG\parallel FC$.

Chứng minh rằng không tồn tại hàm đơn ánh $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$f(f(x)+y)=f(x+y)+f(2012)\quad\text{với mọi }x,y\in\mathbb R.$$