Với số nguyên $n\ge2$, cho các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ thỏa mãn
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=0,\qquad x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.$$
Với mỗi tập con $A\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$, định nghĩa
$$S_A=\sum_{i\in A}x_i.$$
(Nếu $A$ rỗng thì $S_A=0$.) Chứng minh rằng với mọi số dương $\lambda$, số tập $A$ thỏa mãn $S_A\ge\lambda$ không vượt quá $\frac{2^{n-3}}{\lambda^2}$. Những bộ $x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda$ nào cho dấu bằng?
Cho hình bình hành $ABCD$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc $AB,BC,AC$ lần lượt tại $M,N,K$. Các đường thẳng $MK$ và $CD$ cắt nhau tại $P$, các đường thẳng $NK$ và $AD$ cắt nhau tại $Q$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $MP,NQ$. Chứng minh $B,E,F$ thẳng hàng.
Có 65 đôi tình nhân đi chơi. Mỗi bạn nam có một xe máy và phải chở một bạn nữ. Giả sử có thể sắp xếp sao cho với hai xe bất kỳ, đúng một trong hai mệnh đề sau đúng: (i) hai bạn nam trên xe quen nhau; (ii) bạn trai của hai bạn nữ trên xe quen nhau. Chứng minh có thể bỏ đi một đôi để 64 đôi còn lại vẫn sắp xếp được như vậy.
Tìm tất cả các số nguyên $n\ge3$ sao cho trong bất kỳ $n$ số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$\max(a_1,a_2,\ldots,a_n)\le n\min(a_1,a_2,\ldots,a_n),$$
luôn có ba số là độ dài các cạnh của một tam giác nhọn.
Chỉ là hình minh họa; cấu hình/cách tô màu có thể khác.
Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$, và đường thẳng $AO$ cắt $BC$ tại $D$. Lấy $E$ trên $AB$ và $F$ trên $AC$ sao cho $ED=BD$ và $DF=CD$. Chứng minh $EF\parallel BC$.
Cho $P$ là một điểm trong mặt phẳng tam giác $ABC$ và $\gamma$ là đường thẳng qua $P$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là giao điểm của các ảnh đối xứng của đường thẳng $PA,PB,PC$ qua $\gamma$ với các đường thẳng $BC,AC,AB$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $AD$ không song song $BC$. Hai đường tròn đường kính $AB$ và $CD$ cắt nhau tại hai điểm $E,F$ bên trong $ABCD$. Gọi $Q,R,S$ là chân các đường vuông góc từ $E$ tới các đường thẳng $AB,BC,CD$, và $\omega_E$ là đường tròn qua ba điểm ấy. Tương tự, $\omega_F$ là đường tròn qua các chân đường vuông góc từ $F$ tới $CD,DA,AB$. Chứng minh trung điểm $EF$ nằm trên đường thẳng nối hai giao điểm của $\omega_E$ và $\omega_F$.
Mỗi người trong $1005$ cư dân thành phố Emerald đeo kính có hai tròng. Các tròng kính có ba màu hồng, xanh lam và xanh lá với số lượng bằng nhau: mỗi màu có $670$ tròng. Mọi người đứng thành vòng tròn sao cho hai người kề nhau không có tròng kính cùng màu. Số người đeo hai tròng khác màu lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Trong tam giác cân $ABC$ với $AB=AC$, gọi $D$ là chân đường vuông góc từ $A$, và $P$ là điểm bên trong tam giác $ADC$ sao cho $\angle APB\gt 90^\circ$ và $\angle PBD+\angle PAD=\angle PCB$. Gọi $Q$ là giao điểm của $CP,AD$, và $R$ là giao điểm của $BP,AD$. Chọn $T$ trên $[AB]$ và $S$ trên tia $[AP]$ nhưng không thuộc $[AP]$ sao cho $\angle TRB=\angle DQC$ và $\angle PSR=2\angle PAR$. Chứng minh $RS=RT$.
Cho $P$ là một điểm trong mặt phẳng tam giác $ABC$ và $\gamma$ là đường thẳng qua $P$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là giao điểm của các ảnh đối xứng của đường thẳng $PA,PB,PC$ qua $\gamma$ với các đường thẳng $BC,AC,AB$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.
Trên các cạnh của tam giác nhọn $ABC$, dựng ra phía ngoài ba tam giác $A'BC$, $AB'C$, $ABC'$ sao cho $\angle ABC'=\angle A'BC=\angle B'AC=30^\circ$ và $\angle BAC'=\angle AB'C=\angle A'CB=90^\circ$. Chứng minh $A'C'\perp B'M$, với $M$ là trung điểm $BC$.
Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$, ta có
$$\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{a^3+b^2+c^3}+\frac{c}{a^3+b^3+c^2}\ge1.$$
Chứng minh rằng tồn tại điểm $A$ trên đồ thị $f(x)=x^4$ và điểm $B$ trên đồ thị $g(x)=x^4+x^2+x+1$ sao cho khoảng cách giữa $A$ và $B$ nhỏ hơn $\frac1{100}$.
