Câu hỏi 3
Xét các cặp dãy số thực dương
$$ a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq\cdots,\qquad b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq\cdots $$
và các tổng
$$ A_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n},\quad B_{n}=b_{1}+\cdots+b_{n};\qquad n=1,2,\ldots. $$
Với mỗi cặp, định nghĩa $ c_i = \min\{a_i, b_i\} $, $ C_n = c_1 + \cdots + c_n $, $ n = 1, 2, \ldots $.
(1) Có tồn tại cặp $(a_{i})_{i\geq1}$, $(b_{i})_{i\geq1}$ sao cho các dãy $(A_{n})_{n\geq1}$, $(B_{n})_{n\geq1}$ không bị chặn, còn dãy $(C_{n})_{n\geq1}$ bị chặn không?
(2) Câu trả lời phần (1) có thay đổi khi giả sử thêm $b_{i}=1/i$, $i=1,2,\ldots?$
Giải thích câu trả lời.
$$ a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq\cdots,\qquad b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq\cdots $$
và các tổng
$$ A_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n},\quad B_{n}=b_{1}+\cdots+b_{n};\qquad n=1,2,\ldots. $$
Với mỗi cặp, định nghĩa $ c_i = \min\{a_i, b_i\} $, $ C_n = c_1 + \cdots + c_n $, $ n = 1, 2, \ldots $.
(1) Có tồn tại cặp $(a_{i})_{i\geq1}$, $(b_{i})_{i\geq1}$ sao cho các dãy $(A_{n})_{n\geq1}$, $(B_{n})_{n\geq1}$ không bị chặn, còn dãy $(C_{n})_{n\geq1}$ bị chặn không?
(2) Câu trả lời phần (1) có thay đổi khi giả sử thêm $b_{i}=1/i$, $i=1,2,\ldots?$
Giải thích câu trả lời.