Câu hỏi 20
A6 (SWE). Với $n\ge3$ và các số thực cho trước $a_1\le a_2\le\cdots\le a_n$, thực hiện các chỉ dẫn sau:
(1) xếp các số theo một thứ tự nào đó trên đường tròn;
(2) xóa một số khỏi đường tròn;
(3) nếu chỉ còn hai số trên đường tròn thì gọi $S$ là tổng của chúng. Nếu không, khi còn hơn hai số trên đường tròn, thay $(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{p-1},x_p)$ bởi $(x_1+x_2,x_2+x_3,\ldots,x_{p-1}+x_p,x_p+x_1)$. Sau đó quay lại bước (2).
Chứng minh tổng lớn nhất $S$ có thể thu được bằng cách này được cho bởi công thức
$$S_{\max}=\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{\lfloor k/2\rfloor-1}a_k.$$
(1) xếp các số theo một thứ tự nào đó trên đường tròn;
(2) xóa một số khỏi đường tròn;
(3) nếu chỉ còn hai số trên đường tròn thì gọi $S$ là tổng của chúng. Nếu không, khi còn hơn hai số trên đường tròn, thay $(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{p-1},x_p)$ bởi $(x_1+x_2,x_2+x_3,\ldots,x_{p-1}+x_p,x_p+x_1)$. Sau đó quay lại bước (2).
Chứng minh tổng lớn nhất $S$ có thể thu được bằng cách này được cho bởi công thức
$$S_{\max}=\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{\lfloor k/2\rfloor-1}a_k.$$