Ngân hàng câu hỏi AIMO AUSTRALIA

Hai số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $$\frac{2^{24}+2^{21}+2^{21}+2^{21}}{2024}=\frac{2^a}{23^b}.$$ Tính $a+b$.

Một tam giác vuông có diện tích $120$ và cả ba cạnh đều có độ dài nguyên. Tính độ dài cạnh huyền.

Tứ giác $ABCD$ có chu vi $60$ cm và $AB=9$ cm. Hai cạnh $AD,BC$ song song, cách nhau $7$ cm. Chọn $E,F$ lần lượt trên $BC,AD$ sao cho đường thẳng $EF$ chia $ABCD$ thành hai tứ giác có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau. Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng bao nhiêu?

Trong hình sau, tất cả các chấm ở giữa thẳng hàng và ba chấm dưới cùng thẳng hàng. Có đúng $2024$ tam giác có các đỉnh là những chấm này (ba chấm thẳng hàng không tạo thành tam giác). Có bao nhiêu chấm?

Ba số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $$a^2+b-c=100\qquad(1),$$ $$a+b^2-c=124\qquad(2).$$ Tính $a+b+c$.

Cho hình bình hành $ABCD$, phân giác góc $ABC$ cắt $AD$ tại $P$. Biết $PD=65$ và $BP=78=PC$, tính $AB$.

Khảo sát $N$ người để biết họ sử dụng những loại hình giải trí qua màn hình nào trong ba loại $A,B,C$, hoặc không dùng loại nào. Kết quả:
- $50$ người dùng $B$;
- $61$ người không dùng $A$;
- $13$ người không dùng $C$;
- $74$ người dùng ít nhất hai trong ba loại $A,B,C$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $N$.

Dãy nhị phân là dãy mà mỗi số hạng bằng $0$ hoặc $1$. Dãy nhị phân $(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n)$ được gọi là dyadic nếu có số chẵn số hạng và $a_0+a_n=a_1+a_{n-1}=a_2+a_{n-2}=\cdots=1$. Ví dụ $(1,0,0,1,1,0)$ là dãy dyadic dài $6$. Có bao nhiêu dãy nhị phân dài $16$ không dyadic, nhưng gồm $4$ dãy dyadic liên tiếp, mỗi dãy dài $4$?

Ký hiệu số ước dương của số nguyên $n$ là $F(n)$. Ví dụ các ước dương của $12$ là $1,2,3,4,6,12$, nên $F(12)=6$. Các ước dương của $6$ là $1,2,3,6$, nên $F(F(12))=4$. Nếu $F(F(n))=3$ và $F(F(6n))=7$, tìm $F(n)$.

Đặt một số hình chữ nhật $5\times7$ trên một lưới ô vuông đơn vị lớn sao cho mỗi hình chữ nhật phủ đúng $35$ ô vuông. Có thể đặt hình theo chiều ngang hoặc chiều dọc, và chúng được phép chồng lên nhau. Tìm số nguyên lớn nhất $N$ mà không thể phủ đúng $N$ ô vuông theo cách này. [5 điểm]

Khảo sát. Thay vào đó, chỉ dùng các hình chữ nhật cùng kích thước $3\times n$, với số nguyên dương $n\ge6$. Đặt chúng trên lưới như trên, số nguyên lớn nhất $N$ mà không thể phủ đúng $N$ ô vuông là bao nhiêu? [4 điểm thưởng]
Phần Khảo sát gốc được chấm riêng, ngoài 35 điểm cơ bản và thang năm điểm của phần chính.

Các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $(a+b)(a-b)=2023$ và $a/b+b/a=25/12$. Tìm $a$.

Ba hình vuông nằm trong một tam giác vuông như hình. Cạnh của hình vuông nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là $28$ và $63$. Tìm cạnh hình vuông ở giữa.

Mười tổng từng cặp của năm số nguyên phân biệt là $0,1,2,4,7,8,9,10,11,12$. Tìm tổng của năm số nguyên.

Biết rằng chỉ có một cặp số $\{a,b\}$ thỏa mãn $16a^ab^b=81a^bb^a$, hãy tìm $a+b$.

Xếp các số $1,2,3,4,5,6$ thành một hàng làm đáy tháp số. Mỗi số ở hàng trên bằng tổng của hai số kề nhau ngay bên dưới. Ví dụ trong hình có đáy $3,6,1,5,4,2$. Có bao nhiêu cách xếp đáy để số ở đỉnh chia hết cho $5$?

Hai đội thể thao Tigers và Lions đều có $10$ thành viên. Trong mỗi đội, các thành viên được đánh số $1$ đến $10$ theo chiều cao tăng dần. Chia thành $10$ cặp, mỗi cặp gồm một Tiger và một Lion, mỗi người xuất hiện đúng một lần. Một cặp hợp lệ khi và chỉ khi hai số thứ tự chênh nhau không quá $1$; chẳng hạn Tiger $4$ có thể ghép với Lion $3,4,5$. Có bao nhiêu cách ghép hợp lệ?

Số thập phân $1/137=0.00729927\,00729927\ldots$ có chu kỳ lặp ngắn nhất dài $8$ chữ số. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ để $1/n$ có chu kỳ lặp ngắn nhất dài $8$ chữ số.

Mười chữ số $0,1,\ldots,9$ được mã hóa một-một bằng các chữ cái từ $A$ đến $J$. Các số nguyên $ABACDE$, $CAFDG$, $CHHBAED$ là độ dài ba cạnh tam giác, với $A,C\ne0$. Tìm số có ba chữ số được mã hóa bởi $DEG$.

Gọi $n$ là số cặp số thực có thứ tự $(x,y)$ thỏa hệ
$$x^3-y^3=7(x-y),\qquad x^3+y^3=5(x+y).$$
Tìm tổng của $n$ giá trị $x^2+y^2$ tương ứng; các cặp khác nhau cho cùng một giá trị vẫn được tính riêng.

Hai đường tròn $C_1,C_2$ tiếp xúc với trục số thực và tiếp xúc ngoài với nhau. Đường tròn $C_1$ tiếp xúc trục số tại $1/3$, có đường kính $1/9$; $C_2$ tiếp xúc trục số tại $3/8$. Đường tròn thứ ba $C_3$ tiếp xúc với $C_1,C_2$ và trục số tại $x\lt 3/8$. Tìm $x$ và bán kính của $C_3$.
Khảo sát mở rộng (4 điểm thưởng, tách khỏi 5 điểm chính): bắt đầu từ $C_1,C_2$ trên, với $n\ge3$, đặt $C_n$ là đường tròn tiếp xúc với $C_1,C_{n-1}$ và trục số tại $x_n\lt x_{n-1}$. Với $n\ge4$, tìm công thức của $x_n$ và bán kính $r_n$.