Olympic Toán Trung cấp Úc 2023

Các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $(a+b)(a-b)=2023$ và $a/b+b/a=25/12$. Tìm $a$.

Ba hình vuông nằm trong một tam giác vuông như hình. Cạnh của hình vuông nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là $28$ và $63$. Tìm cạnh hình vuông ở giữa.

Mười tổng từng cặp của năm số nguyên phân biệt là $0,1,2,4,7,8,9,10,11,12$. Tìm tổng của năm số nguyên.

Biết rằng chỉ có một cặp số $\{a,b\}$ thỏa mãn $16a^ab^b=81a^bb^a$, hãy tìm $a+b$.

Xếp các số $1,2,3,4,5,6$ thành một hàng làm đáy tháp số. Mỗi số ở hàng trên bằng tổng của hai số kề nhau ngay bên dưới. Ví dụ trong hình có đáy $3,6,1,5,4,2$. Có bao nhiêu cách xếp đáy để số ở đỉnh chia hết cho $5$?

Hai đội thể thao Tigers và Lions đều có $10$ thành viên. Trong mỗi đội, các thành viên được đánh số $1$ đến $10$ theo chiều cao tăng dần. Chia thành $10$ cặp, mỗi cặp gồm một Tiger và một Lion, mỗi người xuất hiện đúng một lần. Một cặp hợp lệ khi và chỉ khi hai số thứ tự chênh nhau không quá $1$; chẳng hạn Tiger $4$ có thể ghép với Lion $3,4,5$. Có bao nhiêu cách ghép hợp lệ?

Số thập phân $1/137=0.00729927\,00729927\ldots$ có chu kỳ lặp ngắn nhất dài $8$ chữ số. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ để $1/n$ có chu kỳ lặp ngắn nhất dài $8$ chữ số.

Mười chữ số $0,1,\ldots,9$ được mã hóa một-một bằng các chữ cái từ $A$ đến $J$. Các số nguyên $ABACDE$, $CAFDG$, $CHHBAED$ là độ dài ba cạnh tam giác, với $A,C\ne0$. Tìm số có ba chữ số được mã hóa bởi $DEG$.

Gọi $n$ là số cặp số thực có thứ tự $(x,y)$ thỏa hệ
$$x^3-y^3=7(x-y),\qquad x^3+y^3=5(x+y).$$
Tìm tổng của $n$ giá trị $x^2+y^2$ tương ứng; các cặp khác nhau cho cùng một giá trị vẫn được tính riêng.

Hai đường tròn $C_1,C_2$ tiếp xúc với trục số thực và tiếp xúc ngoài với nhau. Đường tròn $C_1$ tiếp xúc trục số tại $1/3$, có đường kính $1/9$; $C_2$ tiếp xúc trục số tại $3/8$. Đường tròn thứ ba $C_3$ tiếp xúc với $C_1,C_2$ và trục số tại $x\lt 3/8$. Tìm $x$ và bán kính của $C_3$.
Khảo sát mở rộng (4 điểm thưởng, tách khỏi 5 điểm chính): bắt đầu từ $C_1,C_2$ trên, với $n\ge3$, đặt $C_n$ là đường tròn tiếp xúc với $C_1,C_{n-1}$ và trục số tại $x_n\lt x_{n-1}$. Với $n\ge4$, tìm công thức của $x_n$ và bán kính $r_n$.