Ngân hàng câu hỏi AIMO AUSTRALIA 2017

Số $x$ được viết là $111$ trong hệ cơ số $b$, nhưng là $212$ trong hệ cơ số $b-2$. Hỏi $x$ bằng bao nhiêu trong hệ thập phân?

Ba đường thẳng song song với $BC$ chia tam giác $ABC$ thành bốn miền và chia cạnh $AB$ thành bốn đoạn bằng nhau. Nếu miền có diện tích lớn thứ hai có diện tích $225$, diện tích tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu?

Mười hai học sinh trong một lớp, mỗi em được phát một tấm bìa hình vuông. Độ dài cạnh mỗi tấm là một số nguyên từ $1$ đến $12$ cm và không có hai tấm cùng kích thước. Mỗi học sinh cắt tấm bìa của mình thành các hình vuông đơn vị cạnh $1$ cm. Giáo viên yêu cầu các em ghép tất cả hình vuông đơn vị, cạnh kề cạnh, thành một hình vuông lớn không có khoảng trống. Các em thấy điều này không thể thực hiện được.
Alice có tấm bìa ban đầu cạnh $a$ cm. Bạn nói: “Nếu không dùng hình vuông nào của mình, còn mọi người khác đều dùng hết các hình vuông của họ, thì có thể ghép được!”
Bob, một học sinh khác, có tấm bìa ban đầu cạnh $b$ cm. Bạn nói: “Mình cũng vậy! Nếu bỏ hết các hình vuông của mình, còn mọi người khác đều dùng hết các hình vuông của họ, thì có thể ghép được!”
Giả sử Alice và Bob nói đúng, hãy tính $ab$.

Đất nước Aimosia có ba loại tiền xu, mỗi loại có mệnh giá là một số nguyên đô-la khác nhau. Jack, Jill và Jimmy mỗi người đều có ít nhất một đồng mỗi loại. Jack có $4$ đồng tổng trị giá $28$ đô-la, Jill có $5$ đồng trị giá $21$ đô-la, còn Jimmy có đúng $3$ đồng. Tổng trị giá tiền xu của Jimmy bằng bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có $AB=90$, $BC=50$, $CA=70$. Vẽ một đường tròn tâm $P$ nằm trên $AB$ sao cho $CA$ và $CB$ là các tiếp tuyến của đường tròn. Tính $2AP$.

Trong tứ giác $PQRS$, $PS=5$, $SR=6$, $RQ=4$ và $\angle P=\angle Q=60^\circ$. Biết $2PQ=a+\sqrt b$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương duy nhất, hãy tính $a+b$.

Dan có một lọ kẹo đỏ và kẹo xanh. Nếu bạn chọn ngẫu nhiên một viên, ghi nhận màu, bỏ lại vào lọ rồi chọn viên thứ hai, xác suất cả hai viên đều đỏ bằng $105\%$ xác suất cả hai đều đỏ khi bạn ăn viên thứ nhất trước khi chọn viên thứ hai. Số kẹo lớn nhất có thể có trong lọ là bao nhiêu?

Ba đường tròn, mỗi đường kính bằng $1$, tiếp xúc ngoài đôi một. Vẽ một hình vuông chứa ba đường tròn sao cho hai cạnh kề của hình vuông tiếp xúc với một trong ba đường tròn và hình vuông nhỏ nhất có thể. Độ dài cạnh hình vuông là $a+\frac{\sqrt b+\sqrt c}{12}$, trong đó các số nguyên $a,b,c$ là duy nhất (ngoại trừ việc đổi chỗ $b,c$). Tính $a+b+c$.

Mười điểm $P_1,P_2,\ldots,P_{10}$ nằm cách đều trên một đường tròn. Chúng được ghép thành các cặp rời nhau bởi $5$ đoạn thẳng. Có bao nhiêu cách vẽ các đoạn thẳng sao cho chỉ đúng một cặp đoạn thẳng cắt nhau?

Ten-dig là trò chơi dành cho hai người. Họ cố tạo một số có $10$ chữ số đôi một khác nhau. Người chơi thứ nhất, A, viết một chữ số khác $0$. Người thứ hai, B, viết thêm một chữ số bên phải để số có $2$ chữ số vừa tạo chia hết cho $2$. Hai người luân phiên thêm chữ số, luôn ở bên phải; khi thêm chữ số thứ $n$, số vừa tạo phải chia hết cho $n$. Trò chơi kết thúc khi tạo được số có $10$ chữ số (hai người hòa) hoặc người tiếp theo không thể thêm chữ số hợp lệ (người kia thắng).
Chứng minh chỉ có một cách để đi đến kết quả hòa. [5 điểm]

Khảo sát. Chứng minh rằng nếu A bắt đầu bằng bất kỳ chữ số chẵn khác $0$ nào thì A luôn có thể thắng, bất kể B đáp lại ra sao. [4 điểm thưởng]
Phần Khảo sát gốc được giữ trong câu này; bốn điểm thưởng được tách khỏi 35 điểm cơ bản của đề và thang 5 điểm của phần chính.