Ngân hàng câu hỏi AIMO AUSTRALIA 2021

Một giáo viên yêu cầu Annie, Basil, Cara, Dave và Elli, theo thứ tự đó, mỗi bạn nhân hai chữ số (có thể bằng nhau). Trừ Annie, tích của mỗi bạn lớn hơn tích của bạn trước 50%. Dave nhận được tích bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu số đối xứng có 4 chữ số chia hết cho 99? (Số đối xứng là số không bắt đầu bằng 0 và không thay đổi khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại.)

Gọi các đỉnh của một hình vuông theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ là $A,B,C,D$. Đường thẳng $\ell$ đi qua $B$ và cắt cạnh $AD$. Khoảng cách từ $A$ đến $\ell$ là $5$ cm, từ $C$ đến $\ell$ là $7$ cm. Tính diện tích hình vuông $ABCD$ theo xentimét vuông.

Ba học sinh Andrew, Louise và Elaine làm 100 bài toán. Mỗi bạn giải đúng 60 bài. Gọi một bài là dễ nếu cả ba bạn đều giải được và là khó nếu chỉ có một bạn giải được. Biết mỗi bài được ít nhất một bạn giải, hãy tìm hiệu giữa số bài khó và số bài dễ.

Fiona muốn đính 6 cúc đỏ, 3 cúc xanh lá và 3 cúc vàng lên váy. Các cúc chỉ phân biệt được bằng màu sắc. Tất cả phải nằm trên một đường thẳng đứng và không có hai cúc kề nhau cùng màu. Fiona có bao nhiêu cách sắp xếp các cúc?

Ba số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $a>c$, $ac+b+c=bc+a+66$ và $a+b+c=32$. Tính $abc$.

Một số nguyên dương được gọi là có chữ số dương phân biệt nếu các chữ số của nó đôi một khác nhau và không có chữ số nào bằng 0. Tìm số nguyên tố lớn nhất là ước của tổng của tất cả các số có 4 chữ số dương phân biệt.

Một trò chơi ở công viên giải trí gồm một đường tròn nhỏ quay bên trong một đường tròn lớn. Đường tròn lớn có bán kính $100$ mét, tiếp xúc với mặt đất tại điểm thấp nhất và giữ nguyên vị trí trong suốt trò chơi. Đường tròn nhỏ có bán kính $20$ mét, ban đầu tiếp xúc với đường tròn lớn tại điểm thấp nhất của đường tròn lớn. Ada ngồi tại tiếp điểm này, trên một ghế gắn vào đường tròn nhỏ. Khi trò chơi bắt đầu, đường tròn nhỏ lăn không trượt bên trong đường tròn lớn, hai đường tròn luôn tiếp xúc nhau, và Ada quay cùng đường tròn nhỏ như hình dưới.



Khi tâm đường tròn nhỏ đã quay một góc $120^\circ$ quanh tâm đường tròn lớn, Ada cách mặt đất bao nhiêu mét?

Tìm tất cả các dãy số thực không giảm $a_1,a_2,a_3,\ldots$ sao cho $a_{2n}=3a_n$ và $a_{3n}=5a_n$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho $n\ge m\ge2$ và xét một lưới $m\times n$ gồm các ô vuông đơn vị. Trong lưới có nhiều hình chữ nhật có đỉnh là các điểm trên lưới và cạnh nằm trên các đường của lưới. Ví dụ, lưới $2\times2$ chứa đúng ba loại hình chữ nhật không bằng nhau, như hình dưới.







Tìm tất cả các lưới $m\times n$ chứa đúng $100$ loại hình chữ nhật không bằng nhau.

Khảo sát thêm (3 điểm thưởng). Cho $n\ge m\ge2$. Mô tả tập hợp các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại lưới $m\times n$ chứa $k$ loại hình chữ nhật không bằng nhau.