Olympic Toán Trung cấp Úc 2020

Cho $n$ là số nguyên dương và $n^2$ bằng số có bốn chữ số $\overline{aabb}$. Tìm $n$.

Hai phép toán $L$ và $R$ trên các số hữu tỉ $p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương, được định nghĩa bởi
$$L\left(\frac pq\right)=\frac p{p+q},\qquad R\left(\frac pq\right)=\frac{p+q}q.$$
Bắt đầu từ 1 và lần lượt thực hiện $R,L,R,L,R,L,R,L,R,L$. Khi viết kết quả dưới dạng phân số tối giản, tổng tử số và mẫu số bằng bao nhiêu?

Ba bạn lớp 9 là Jan, Kate và Lee ngồi theo thứ tự đó trên cùng một hàng trong buổi tập trung. Mỗi hàng của hội trường có 30 ghế, đánh số từ 1 đến 30.
Có $3n$ tủ đồ của khối 9, xếp thành ba hàng và đánh số từ trái sang phải: hàng trên từ 1 đến $n$, hàng giữa từ $n+1$ đến $2n$, hàng dưới từ $2n+1$ đến $3n$.
Tủ đồ của ba bạn nằm tại các vị trí sau:



Các bạn nhận thấy số ghế của Kate là ước của số tủ của cả ba bạn. Số ghế của Kate là bao nhiêu?

Hình vuông $ABCD$ có cạnh 10 cm. Các điểm $E,F,G,H$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Biết $EB=FC$, $CG=DH$ và $CG-EB=4$ cm. Tính diện tích tứ giác $EFGH$, theo đơn vị xentimét vuông.

Tìm số có ba chữ số lớn nhất $N=\overline{abc}$ sao cho tồn tại số nguyên $d\ge0$, $d\le b$ và $d\le c$, mà khi tăng $a$ thêm $d$, đồng thời giảm $b$ và $c$ đi $d$, số nhận được bằng $Nd/2$.

Tìm giá trị của $a$ trong nghiệm của hệ phương trình sau:
$$a+b+c=2020\tag{1}$$
$$a^2+ac=b^2+bc\tag{2}$$
$$a^2+ab=c^2+cb-2020.\tag{3}$$

Hai đường tròn tâm $C$, bán kính 36 và tâm $D$, bán kính 9 tiếp xúc ngoài với nhau. Chúng nằm phía trên một tiếp tuyến chung nằm ngang, tiếp xúc với đường tròn thứ nhất tại $A$ và đường tròn thứ hai tại $B$. Đường tròn tâm $E$ tiếp xúc với cả hai đường tròn và với đoạn $AB$. Tính diện tích tam giác $CDE$.

Duyệt lần lượt các số hạng của một dãy, ta tính một tổng lũy kế như sau. Ban đầu tổng bằng 0. Từ số hạng đầu tiên, nếu trừ số hạng đang xét khỏi tổng mà kết quả không âm thì thực hiện phép trừ; nếu không thì cộng số hạng đó vào tổng. Sau khi duyệt hết dãy, kết quả được gọi là tổng roman của dãy. Chẳng hạn, tổng roman của dãy $2,4,3,3,1,5$ là $0+2+4-3-3+1+5=6$.
Với một dãy gồm các số $1,2,3,\ldots,100$ theo một thứ tự nào đó, tổng roman lớn nhất có thể bằng bao nhiêu?

Cho các số nguyên $k,m,n$ thỏa mãn $2\le k\le m\lt n$. Chứng minh rằng
$$\frac{m!}{m^k(m-k)!}\lt \frac{n!}{n^k(n-k)!}.$$
Chú ý $0!=1$ và $r!=1\times2\times3\times\cdots\times r$ với mọi số nguyên dương $r$.

Đường tròn tâm $O$ có đường kính $AD$. Với $X$ nằm trên $AO$ và $B,C$ nằm trên đường tròn, hai tam giác $ABX$ và $XCO$ là các tam giác cân đồng dạng, có góc ở đáy bằng $\alpha$ như hình. Tìm $\alpha$ và chứng minh kết quả.



Khảo sát thêm (điểm thưởng chấm thủ công riêng, không thuộc 5 điểm cơ bản). Tổng $1+2=3$ điểm thưởng được chấm thủ công và tách khỏi tổng 35 điểm cơ bản của toàn đề.
(a) Tìm $\alpha$ nếu trên $AO$ có ba tam giác cân đồng dạng thay vì hai. [1 điểm thưởng]
(b) Tìm $\alpha$ nếu trên $AO$ có $n$ tam giác cân đồng dạng. [2 điểm thưởng]