Olympic Toán Trung cấp Úc 2018

Cho $x$ là một chữ số. Chữ số hàng chục của tích $\overline{2x7}$ và $39$ là $9$. Tìm $x$.

Nếu $234_{b+1}-234_{b-1}=70_{10}$, thì $234_b$ bằng bao nhiêu trong hệ cơ số $10$?

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ có bán kính $10$. Dựng nửa đường tròn đường kính $AB$ ở ngoài hình vuông. Tìm diện tích phần nằm trong nửa đường tròn nhưng ngoài đường tròn ngoại tiếp.

Tìm chữ số khác $0$ cuối cùng của $50!=1\times2\times3\times\cdots\times50$.

Đánh dấu hai điểm chia ba trên mỗi cạnh của một hình lập phương. Cắt bỏ mỗi đỉnh $v$ bằng mặt phẳng qua ba điểm chia ba gần $v$ nhất. Đa diện thu được có $24$ đỉnh. Có bao nhiêu đường chéo nối hai đỉnh nằm hoàn toàn trong lòng đa diện?

Cho hình bình hành $ABCD$. Điểm $P$ trên tia kéo dài $AB$ sao cho $DP$ đi qua trung điểm $N$ của $BC$. Điểm $Q$ trên tia kéo dài $BA$ sao cho $CQ$ đi qua trung điểm $M$ của $AD$. Hai đường $DP$ và $CQ$ cắt nhau tại $O$. Nếu $[ABCD]=192$, hãy tìm $[POQ]$.

Hai số nguyên dương khác nhau $a,b$ thỏa mãn $a^2-b^2=2018-2a$. Tính $a+b$.

Tam giác $ABC$ có diện tích $300$. Điểm $Q$ là trung điểm của $BC$; điểm $P$ nằm giữa $C,A$ và thỏa $CP=3PA$; điểm $R$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $[PQR]=2[RBQ]$. Tìm $[PQR]$.

Chứng minh rằng $38$ là số nguyên chẵn lớn nhất không biểu diễn được thành tổng của hai hợp số lẻ dương.

Một cặp số nguyên dương được gọi là tương thích nếu một số bằng tổng tất cả các chữ số trong cặp, còn số kia bằng tích tất cả các chữ số trong cặp. Tìm mọi cặp số tương thích dương nhỏ hơn $100$ (5 điểm).

Khảo sát (3 điểm thưởng, tách khỏi điểm cơ bản): tìm mọi cặp số tương thích dương nhỏ hơn $1000$ mà ít nhất một số lớn hơn $99$.