Ngân hàng câu hỏi AIMO AUSTRALIA 2024

Hai số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $$\frac{2^{24}+2^{21}+2^{21}+2^{21}}{2024}=\frac{2^a}{23^b}.$$ Tính $a+b$.

Một tam giác vuông có diện tích $120$ và cả ba cạnh đều có độ dài nguyên. Tính độ dài cạnh huyền.

Tứ giác $ABCD$ có chu vi $60$ cm và $AB=9$ cm. Hai cạnh $AD,BC$ song song, cách nhau $7$ cm. Chọn $E,F$ lần lượt trên $BC,AD$ sao cho đường thẳng $EF$ chia $ABCD$ thành hai tứ giác có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau. Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng bao nhiêu?

Trong hình sau, tất cả các chấm ở giữa thẳng hàng và ba chấm dưới cùng thẳng hàng. Có đúng $2024$ tam giác có các đỉnh là những chấm này (ba chấm thẳng hàng không tạo thành tam giác). Có bao nhiêu chấm?

Ba số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $$a^2+b-c=100\qquad(1),$$ $$a+b^2-c=124\qquad(2).$$ Tính $a+b+c$.

Cho hình bình hành $ABCD$, phân giác góc $ABC$ cắt $AD$ tại $P$. Biết $PD=65$ và $BP=78=PC$, tính $AB$.

Khảo sát $N$ người để biết họ sử dụng những loại hình giải trí qua màn hình nào trong ba loại $A,B,C$, hoặc không dùng loại nào. Kết quả:
- $50$ người dùng $B$;
- $61$ người không dùng $A$;
- $13$ người không dùng $C$;
- $74$ người dùng ít nhất hai trong ba loại $A,B,C$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $N$.

Dãy nhị phân là dãy mà mỗi số hạng bằng $0$ hoặc $1$. Dãy nhị phân $(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n)$ được gọi là dyadic nếu có số chẵn số hạng và $a_0+a_n=a_1+a_{n-1}=a_2+a_{n-2}=\cdots=1$. Ví dụ $(1,0,0,1,1,0)$ là dãy dyadic dài $6$. Có bao nhiêu dãy nhị phân dài $16$ không dyadic, nhưng gồm $4$ dãy dyadic liên tiếp, mỗi dãy dài $4$?

Ký hiệu số ước dương của số nguyên $n$ là $F(n)$. Ví dụ các ước dương của $12$ là $1,2,3,4,6,12$, nên $F(12)=6$. Các ước dương của $6$ là $1,2,3,6$, nên $F(F(12))=4$. Nếu $F(F(n))=3$ và $F(F(6n))=7$, tìm $F(n)$.

Đặt một số hình chữ nhật $5\times7$ trên một lưới ô vuông đơn vị lớn sao cho mỗi hình chữ nhật phủ đúng $35$ ô vuông. Có thể đặt hình theo chiều ngang hoặc chiều dọc, và chúng được phép chồng lên nhau. Tìm số nguyên lớn nhất $N$ mà không thể phủ đúng $N$ ô vuông theo cách này. [5 điểm]

Khảo sát. Thay vào đó, chỉ dùng các hình chữ nhật cùng kích thước $3\times n$, với số nguyên dương $n\ge6$. Đặt chúng trên lưới như trên, số nguyên lớn nhất $N$ mà không thể phủ đúng $N$ ô vuông là bao nhiêu? [4 điểm thưởng]
Phần Khảo sát gốc được chấm riêng, ngoài 35 điểm cơ bản và thang năm điểm của phần chính.