Olympic Toán Trung cấp Úc 2015

Một số được viết trong hệ cơ số $a$ là $123_a$. Cũng số đó được viết trong hệ cơ số $b$ là $146_b$. Giá trị nhỏ nhất của $a+b$ là bao nhiêu?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Một đường tròn nội tiếp lục giác $ABCDEF$, nghĩa là mỗi cạnh của lục giác đều tiếp xúc với đường tròn. Tìm chu vi lục giác biết $AB=6$, $CD=7$, $EF=8$.

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Mua 3 món loại whatsit, 7 món loại doover và 1 món loại thingy hết tổng cộng 329 đô la. Mua 4 món loại whatsit, 10 món loại doover và 1 món loại thingy hết tổng cộng 441 đô la. Hỏi mua 1 món mỗi loại whatsit, doover, thingy hết bao nhiêu đô la?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Một phân số ở dạng tối giản $\frac ab$ cũng có thể viết thành $\frac2n+\frac1{n^2}$, với $n$ là số nguyên dương. Nếu $a+b=1024$, hãy tìm $a$.

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Tìm số nguyên dương $y$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn $2^{13}+2^{10}+2^x=y^2$.

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Đường tròn lớn có bán kính $30/\sqrt\pi$. Hai đường tròn có đường kính $30/\sqrt\pi$ nằm trong đường tròn lớn. Thêm hai đường tròn nằm trong đường tròn lớn sao cho năm đường tròn tiếp xúc nhau như hình. Tìm diện tích phần tô màu.







Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Xét các đường đi ngắn nhất dọc theo cạnh của lưới ô vuông $7\times7$, từ đỉnh dưới bên trái đến đỉnh trên bên phải. Có bao nhiêu đường đi như vậy không có cạnh nào nằm phía trên đường chéo của lưới nối hai đỉnh đó?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Tìm số các số nguyên không âm $x$ thỏa mãn $\left\lfloor\frac{x}{44}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{45}\right\rfloor$. (Chú ý: với số thực $r$, ký hiệu $\lfloor r\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$.)

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Một dãy số được xác định bởi $s_1=a$, $s_2=b$ và $s_{n+2}=s_{n+1}+(-1)^ns_n$ với mọi $n\ge1$. Nếu $a=3$ và $b$ là số nguyên nhỏ hơn $1000$, giá trị lớn nhất của $b$ để $2015$ xuất hiện trong dãy là bao nhiêu? Hãy giải thích.

Phải trình bày lời giải. Đáp án tham khảo không tự động đánh giá bài chứng minh của học sinh.

Điểm $X$ nằm trong tam giác đều $ABC$. $Y,Z,W$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $X$ đến $AC,AB,BC$.
Tỉ số khoảng cách từ $X$ đến ba cạnh là $1:2:4$ như hình.





Biết diện tích tứ giác $AZXY$ bằng $13\text{ cm}^2$, hãy tìm diện tích tam giác $ABC$ và giải thích. [5 điểm]
Khảo sát (trong nguồn; 2 điểm thưởng): Nếu $XY:XZ:XW=a:b:c$, hãy tìm tỉ số diện tích $AZXY$ và $ABC$.

Phải trình bày lời giải. Đáp án tham khảo không tự động đánh giá bài chứng minh của học sinh.