Gaston và Jordon luôn đọc sai thời gian nấu trong công thức. Chẳng hạn, $1{:}32$ nghĩa là 1 giờ 32 phút; Jordon đọc thành 132 phút, còn Gaston đọc thành 1,32 giờ. Với một công thức, hai thời gian đọc sai chênh nhau đúng 90 phút. Thời gian nấu thật sự là bao nhiêu phút?
Một số nguyên có ba chữ số trong hệ thập phân. Khi coi dãy chữ số ấy là số trong cơ số 6 rồi nhân với 4, kết quả lớn hơn 2 đơn vị so với ba lần giá trị của cùng dãy chữ số trong cơ số 7. Tìm số nguyên thập phân lớn nhất thỏa điều kiện.
Jenny có 1000 viên bi cùng kích thước. Ít nhất một viên màu đỏ, số còn lại màu xanh. Khi chọn ngẫu nhiên hai viên, xác suất cả hai đỏ bằng xác suất chúng khác màu. Có bao nhiêu viên bi đỏ?
Một con bọ bắt đầu tại $A$ của hình vuông $ABCD$. Mỗi phút nó đi đúng một cạnh tới đỉnh kề. Trong hai phút, bốn đường đi có thể là $ABA,ADA,ABC,ADC$. Có bao nhiêu đường đi từ $A$ tới $C$ trong mười phút?
Một chiếc thuyền thủng đã có sẵn nước, và nước tiếp tục vào với tốc độ không đổi. Mỗi người dùng bơm tay với cùng một năng suất không đổi. Từ cùng thời điểm bắt đầu, năm người bơm cạn trong mười giờ, còn mười hai người bơm cạn trong ba giờ. Cần bao nhiêu người để bơm cạn trong hai giờ từ thời điểm đó?
Dựng tam giác $PQR$ sao cho đường trung trực của $PQ$ cắt cạnh $QR$ tại $N$, và $PN$ chia $\angle QPR$ thành hai góc theo tỉ số $1:22$ (số đo hai góc không nhất thiết là số nguyên độ). Nếu $\angle QPR=p^\circ$ với $p$ nguyên, tìm giá trị lớn nhất của $p$.
Một vườn thực vật có 999 vị trí cách đều nhau trên một hàng, mỗi vị trí có nhiều nhất một cây. Năm thứ nhất chỉ vị trí giữa có cây. Vào năm $n$, với mọi $n\ge2$, vị trí $X$ có cây khi và chỉ khi tổng số cây ở $X$ và hai vị trí kề ngay hai bên trong năm trước bằng đúng một. Xác định và chứng minh số cây vào năm thứ 128.
Một số chẵn đội thi đấu vòng tròn: mỗi cặp đội gặp nhau đúng một lần, mỗi đội chơi đúng một trận trong mỗi lượt, và không có trận hòa.
(a) Chứng minh rằng sau lượt 2, số đội thắng hai trận bằng số đội thua hai trận.
(b) Tìm số đội ít nhất sao cho sau lượt 3, số đội thắng ba trận có thể khác số đội thua ba trận.
(c) Chứng minh rằng sau lượt 4, số đội thắng bốn trận bằng số đội thua bốn trận khi và chỉ khi số đội thắng đúng ba trận bằng số đội thua đúng ba trận. (5 điểm)
Khảo sát: chứng minh rằng với mọi số chẵn $k\ge4$, có một giải vòng tròn gồm $k$ đội mà số đội thắng $k-1$ trận khác số đội thua $k-1$ trận. (3 điểm thưởng, tách khỏi điểm cơ bản.)